Si possono constatare una serie di proprietà e relazioni:
• La somma di due numeri contigui forma il numero successivo della sequenza: 2+3=5; 13+21=34; 89+144=233; etc..
• Il limite che tende ad infinito del rapporto tra il numero e il successivo è uguale a 0,61803.
• Il limite che tende ad infinito del rapporto tra un numero e il suo precedente è uguale a 1,618.
• Il rapporto di un numero per il secondo che lo precede è sempre pari (tendente a) 2,618, che è il quadrato di 1,618.
Serie |
Rapporto x(n)/x(n+1) |
|
1 |
||
1 |
0,500000000000000 |
|
2 |
0,666666666666667 |
|
3 |
0,600000000000000 |
|
5 |
0,625000000000000 |
|
8 |
0,615384615384615 |
|
13 |
0,619047619047619 |
|
21 |
0,617647058823529 |
|
34 |
0,618181818181818 |
|
55 |
0,617977528089888 |
|
89 |
0,618055555555556 |
|
144 |
0,618025751072961 |
|
233 |
0,618037135278515 |
|
377 |
0,618032786885246 |
|
610 |
0,618034447821682 |
|
987 |
0,618033813400125 |
|
1597 |
0,618033963166707 |
|
2584 |
0,618033998521803 |
|
4181 |
0,618033985017358 |
|
6765 |
0,618033990175597 |
|
10946 |
0,618033988205325 |
|
17711 |
0,618033988957902 |
|
28657 |
0,618033988670443 |
|
46368 |
0,618033988780243 |
|
75025 |
0,618033988738303 |
|
121393 |
0,618033988754323 |
|
196418 |
0,618033988748204 |
|
317811 |
0,618033988750541 |
|
514229 |
0,618033988749648 |
|
832040 |
0,618033988749989 |
|
1346269 |
0,618033988749859 |
|
2178309 |
0,618033988749909 |
|
3524578 |
0,618033988749890 |
|
5702887 |
0,618033988749897 |
• Se dividiamo qualsiasi numero per il secondo che lo precede nella sequenza, otterremo sempre due come risultato, e come resto il numero immediatamente precedente il divisore. Per esempio: 144/55=2 con il resto di 34;
• Escludendo 1 e 2, ogni numero della serie, moltiplicato per 4, fornisce un risultato, che aggiunto ad un numero di una nuova serie, dà un'altra serie di Fibonacci.
Esempio: 3*4=12+1=13 5*4=20+1=21 8*4=32+2=34 13*4=52+3=55 e così via..
Nell'esempio si notano tre serie di Fibonacci, ottenute grazie all'impiego del quattro come fattore. Queste relazioni sono possibili in quanto, il rapporto fra un numero e il terzo precedente, tende al limite a 4,236, dove 0,236 è sia il reciproco, sia la differenza rispetto a 4 (4,236-4). g) se mettiamo a confronto la serie di Fibonacci con una serie di numeri naturali, noteremo che ogni qualvolta in quest'ultima si raggiunge un numero primo, lo stesso accade nella serie di Fibonacci:
Numeri naturali 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Numeri di Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597
• La somma di tutti i numeri della serie di Fibonacci fino ad un punto scelto, più1, è uguale al numero di Fibonacci situato due posti in avanti
Consideriamo la serie di Fibonacci A, B, C, D, E, G...
Se si sommano due o più numeri consecutivi di tale serie, sempre a partire da A, e si aggiunge ulteriormente "1", si ottiene sempre un altro numero di Fibonacci che nella sequenza segue di due posti l'ultimo termine della somma
( A+B+C+1 = E )
Esempi:
1+1+2+3+5+1 = 13
In questo caso si sono sommati i primi cinque numeri di Fibonacci, si è aggiunto uno e si è ottenuto il settimo numero della sequenza.
1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89+1=233
In questo caso invece si sono sommati i primi undici numeri di Fibonacci, si è aggiunto uno e si è ottenuto il tredicesimo numero della sequenza.
• La somma partendo da 1, dei quadrati dei numeri della serie, fino ad un punto qualsiasi, è uguale all'ultimo numero considerato moltiplicato per il successivo:
Esempi:
32+52=34
In questo caso si sono presi il quarto e il quinto numero della sequenza, se ne è fatto il quadrato e la somma fra i quadrati è risultata essere il nono numero di Fibonacci.
82+132= 233
In questo caso si sono presi il sesto e il settimo numero della sequenza e la somma fra i loro quadrati ha dato il tredicesimo numero di Fibonacci.
• Il quadrato di un numero di Fibonacci meno il quadrato del secondo numero precedente è sempre un numero della successione
• Il quadrato di qualsiasi numero della serie è uguale al numero che lo precede, per il numero che lo segue, più o meno 1. Il più o meno si alterna lungo la sequenza
• Il massimo comun divisore di due numeri di Fibonacci è ancora un numero di Fibonacci
Facciamo ora alcune semplici considerazioni di teoria dei numeri. Mostriamo come si determina il massimo comun divisore di due numeri a e b, facenti parte della serie di Fibonacci. Dividiamo a per b ottenendo per quoziente q e per resto r. Ovviamente:
a = bq + r e 0<r<b
Prendiamo come esempio i seguenti numeri di Fibonacci:
6765 = 610 x 11 + 65
610 = 55 x 11 + 5
55 = 5 x 11
Il fatto che il massimo comun divisore di questi due numeri di Fibonacci sia ancora un numero di Fibonacci, il 5, non è pura coincidenza.
• La relazione fra i numeri di Fibonacci ed altri numeri, non meno notevoli, i cosiddetti coefficienti binomiali. Determineremo ora alcune delle leggi che mettono in relazione questi numeri fra loro. Disponiamo i coefficienti binomiali nel seguente schema triangolare, il cosiddetto triangolo di Pascal:
cioè |
le linee oblique congiungenti i numeri di questo schema triangolare sono chiamate le diagonali ascendenti del triangolo di Pascal. Esempi di tali diagonali sono appunto le linee passanti per i numeri 1, 4, 3 e 1, 5, 6, 1. Notiamo che la somma dei numeri che si trovano su una data diagonale ascendente è un numero di Fibonacci. Infatti, le prime due diagonali ascendenti del triangolo di Pascal sono formate dal solo numero 1.
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