Parliamo di caso quando non si possono più fare predizioni affidabili, quando il passato non determina completamente il presente, quando una serie di osservazioni non si lascia schematizzare. Certo ci sono delle sfumature, e l’ uso delle probabilità permette di valutare la proporzione di casualità racchiusa nel futuro: i valori 0 e 1 rappresentano la certezza, in un senso e nell’ altro, e le probabilità intermedie riflettono lo stato dell’informazione che si può ottenere. Ma il caso è proprio questo, l’incertezza sull’ avvenire, l’impossibilità di predire a colpo sicuro.

Dalle galassie ai quark in 43 immagini: su questa trama sono stati realizzati un libro e un film e  il percorso è avvincente. Non esiste modo migliore per toccare con mano la forza della crescita esponenziale: da una potenza di 10 all’altra, in quaranta operazioni si passa  dal universo medesimo ai costituenti fondamentali della materia.

 

Un sistema caotico è uno zoom, analogo a quello di cui ci siamo serviti per percorrere l’universo in quaranta tappe: è un meccanismo di ingrandimento. Lo scorrere del tempo rivela dettagli sempre più fini.

Che cos’è dunque un sistema caotico? Si tratta innanzitutto di un sistema deterministico, ovvero un sistema il cui comportamento futuro è determinato completamente dal suo stato presente quelle che chiamiamo condizioni iniziali del moto. A due condizioni iniziali identiche corrispondono  due traiettorie identiche. La traiettoria del pallone da calcio quindi è determinata dal calcio del tiratore. Ovviamente è difficilile, per non dire impossibile, calciare un pallone o lanciare un dado esattamente nello stesso modo due volte di fila; lo si potrà fare in maniera simile, ma ci sarà sempre una differenza, per quanto minima. Si dirà che un sistema è caotico  se amplifica le differenze iniziali. E’ necessario, inoltre che tale differenza sia esponenziale, cioè che le differenze si moltiplichino ad intervalli regolari, anziché sommarsi. Più esattamente, a ogni sistema caotico è associato un intervallo di tempo T, tale che il al termine di T lo scarto tra due traiettorie inizialmente vicine sia più o meno decuplicato. Se la differenza iniziale è d dopo T sarà 10d, dopo 2T sarà pari a 100d, dopo 3T sarà 1000d e così via. Per semplicità diremo che T è il tempo caratteristico del sistema.

In altri termini un sistema caotico amplifica le piccole differenze, e soltanto quelle: porta i fenomeni microscopici a un livello macroscopico. E’ nell’amplificazione delle piccole deviazioni che si annida il caso.Il sistema solare è stabile e regolare su una scala dell’ordine del milione di anni, ed è caotico su una scala di cento milioni di anni.

L’attrattore di lorenz

Si tratta di un sistema a 3 variabili che obbediscono a tre equazioni differenziali. Qualunque sia il punto di partenza, le traiettorie finiscono immancabilmente per avvolgersi attorno un oggetto straordinario, di cui delineano progressivamente i contorni e che porta il nome di attrattore di Lorenz. Una volta scelto il punto iniziale , l’evoluzione del sistema è interamente determinata dalle equazioni di lorenz e il disegno che vedete è la traiettoria corrispondente. La si può osservare mentre si avvolge alternativamente ora intorno ad un’ansa, ora intorno all’altra, per poi tornare alla prima, e poi di nuovo alla seconda, indefinitamente e in modo aleatorio, senza che si possa mai prevedere quanti giri farà da una parte, ne quando passerà dall’altra. Si nota la forma a sella tipica dell’attrattore di Lorenz, che è formato da due parti una a sinistra e l’altra a destra. E’ stata rappresentata una sola traiettoria, che passa da una parte all’altra, fa tre piccoli giri (in realtà il numero dei giri è estremamente variabile) per poi andarsene

Come calcolare traiettorie instabili

Un errore mille volte più piccolo di un altro farà sentire ugualmente il proprio effetto: semplicemente, bisognerà aspettare un po’ di più, per la precisione tre volte il tempo caratteristico.

Ma calcolare traiettorie giuste è possibile nonostante tutti gli errori che possono essere commessi all’inizio e in tutte le tappe seguenti. Il fatto notevole, e quanto meno paradossale, e che sia la stessa instabilità dei sitemi caotici a renderlo possibile.
Per esempio il modello classico della meccanica celeste, che si basa sulla legge di Newton, non è rigorosamente esatto. Il modello che oggi consideriamo esatto si fonda sulla curvatura dello spazio tempo. Certo nelle condizioni tipiche del sistema solare la differenza è impercettibile.

Ciò non toglie che una differenza per quanto inizialmente trascurabile, tende ad amplificarsi e a mettere in dubbio la validità delle predizioni a lungo termine proprio come un’imprecisione sulla posiazione iniziale o degli errori di arrotondamento nel corso del calcolo possono mettere in discussione il risultato finale. Il problema però non è esattamente lo stesso, poiché l’errore non è nei dati ma nel modello. Non è più un errore sulle variabili ma sulle equazioni. Eppure il risultato è lo stesso: le traiettorie ottenute con le Equazioni di Newton resteranno vicine alle traiettorie ottenute con quelle di Einstein, e cio addirittura per una durata superiore al tempo caratteristico.

In conclusione, la possibilità di avere fiducia nelle simulazioni numeriche deve tutto a questi risultati di stabilità, senza i quali i sistemi caotici sarebbero inaccessibili al calcolo. La dimostrazione di tali risultati è tutt’altro che semplice, e costituisce uno dei successi fondamentali della teoria matematica sviluppatasi attorno ai sistemi caotici.

Che cos’è la teoria del caos

processi di modellizzazione sono alla base della scienza moderna e possiamo classificarli in due grandi categorie :

• modelli stocastici
• modelli deterministici

Un modello è stocastico se è misurabile con la probabilità: la probabilità che un elettrone passi da un’orbita atomica a un’altra, la probabilità che un nucleo si disintegri, la probabilità che il vuotodia origine a una coppia di antiparticelle.
Nel caso deterministico l’evoluzione del modello è determinata interamente dal suo stato attuale. Se si è in grado di risolvere le equazioni è possibile predire gli stati futuri e ricostruire gli stati antecedenti

Uno dei fenomeni di base dell’economia è l’esistenza di cicli di attività, che portano all’alternanza di periodi di recessione e di espansione. Questi sono più o meno pronunciati e hanno una durata più o meno lunga, ma sono sempre presenti.L’esperienza insegna che sono scarsamente prevedibili; non siamo nemmeno in grado di riconoscere se una certa diminuzione di attività è passeggera o se ci segnala l’entrata in recessione e l’inizio  di un nuovo ciclo. Questi cicli, però, non sono neanche del tutto aleatori: le analisi storiche rivelano invece le correlazioni assolutamente logiche tra le aspettative degli attori coinvolti e il loro comportamento, e dimostrano l’importanza di certe politiche, in un senso come nell’altro. Non c’e’ dubbio che uno dei problemi principali che si pongono alla scienza economica è quello di spiegare questi cicli.

 Il carattere irregolare dei cicli ha spinto a darne rappresentazione attraverso dei modelli stocastici: in altri termini si è cercato di spiegare i cicli attraverso eventi esterni che influenzerebbero l’economia in maniera traumatica e aleatoria. La teoria del caos apre nuove possibilità di spiegazione e allarga in maniera considerevole la modalità di impiego dei modelli deterministici.

Conclusione

Siamo di fronte all’inizio di una rivoluzione nella concezione delle teorie scientifiche. D’ora in poi la corrispondenza tra la realtà fisica e il modello matematico non è più immediata, ma passa attraverso il calcolo. Non diremo mai più questa equazione rappresenta il fenomeno. Bisognerà aggiungere: il sistema è caotico, il suo tempo caratteristico è di tot, sappiate che al di là di quest’ultimo certi calcoli non rappresenteranno più nulla.

Maurizio Zuzzaro

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