Un Mondo di coincidenze racchiude una ricerca tra le casualità, dalla numerologia alle parole, riportando simpatici aneddoti frutto degli “scherzi del caso” . Gli appunti che ho qui riportato sono solo una piccola parte dei temi trattati: dallo “strano ma vero!” agli esilaranti scherzi del caso negli errori sui giornali.

Coincidenze matematiche che si riscontrano in natura
Nel rapporto aureo

Il Reciproco del  rapporto Aureo 1,6180339887.. è curiosamente uguale a 0 seguito dalla stessa successione di cifre decimali  0,6180339887. In geometria viene definito sezione aurea  di un determinato segmento quella sua porzione che risulta media proporzionale tra il segmento stesso e la proporzione stessa

La legge di Benford

Intorno al 1881, l’astronomo Simon Newcomb si accorse che le tavole dei logaritmi (utilizzate come strumento di calcolo veloce) erano molto più consumate nelle prime pagine che nelle ultime. Ciò lo indusse a supporre che, nella pratica quotidiana, i numeri che iniziano con la cifra “1” fossero più numerosi degli altri. Questa osservazione venne ripresa circa mezzo secolo più tardi dal fisico Frank Benford che nell’intento di verificare l’attendibilità di una tale ipotesi, apparentemente bizzarra, cominciò a raccogliere una grande mole di dati da fonti disparate. Al temine delle sue indagini, nel 1938, arrivò a formulare una legge di distribuzione della prima cifra significativa, relativa a un’insieme di numeri generati casualmente in un contesto reale. Tale legge assegna alle nove cifre diverse da zero le percentuali di frequenza indicate nella seguente tabella.

Cifra iniziale	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Frequenza	30,10%	17,61%	12,49	9,69%	7,92%	6,70%	5,80%	5,11%	4,58%

Come si può notare, non solo la frequenza della cifra “1” è nettamente predominante,  ma quella relativa alle cifre successive assume un regolare andamento decrescente.
La legge di Benford, ovviamente, non sarebbe valida se si prendessero in considerazione tutti i numeri interi compresi tra 1 e infinito; in questo caso infatti, ogni potenziale prima cifra sarebbe equamente rappresentata. Si può cominciare a verificare la validità della lrgge di Benford prendendo in considerazione l’insieme numerico contenuto in una tradizionale tavola pitagorica

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81

Si estrapolano e si classificano le cifre iniziali dei vari numeri in essa contenuti, si ottiene il seguente prospetto.
Tavola pitagorica 9x9

Cifra iniziale	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Frequenza	22,22%	18,51%	13,38%	14,81%	7,40%	8,64%	4,93%	6,17%	3,70%

Tavola pitagorica 100x100

Cifra iniziale	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Frequenza	22,79%	18,12%	14,52%	11,78%	9,45%	7,75%	6,18%	4,75%	3,66%

Utilizzando i numeri memorabili di Davit Wells, dove sono registrati tutti i numeri che possiedono almeno una proprietà degna di nota(382 complessivamente)

Cifra iniziale	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Frequenza	30,10%	16,49%	11,25%	9,16%	8,37%	8,11%	5,50%	5,50%	5,50%

Come si può vedere si avvicina moltissimo a quella prevista da Benford.
La legge di Benford non costituisce solo un’intrigante curiosità. Ma si presenta anche a interessanti applicazioni pratiche. Ad esempio negli Stati Uniti viene usata per scovare gli evasori fiscali. Tutte le dichiarazioni dei redditi i cui importi presentano una distribuzione anomala delle prime cifre, infatti vengono considerate sospette e sottoposte ad un controllo più accurato.

Probabilità degli eventi

La probabilità di un evento è un valore teorico, potenzialmente ricavabile con diversi procedimenti; corrisponde ad una stima formulata a priori
La frequenza di un evento è un valore pratico, che si ricava al termine di una apposita sperimentazione; corrisponde al valore che si ottiene effettuando una divisione tra la quantità di volte in cui un determinato evento si è verificato e la quantità totale delle prove effettuate.

Lo stretto legame tra i concetti di probabilità e frequenza è sancita dalla cosiddetta legge dei grandi numeri enunciata per la prima volta verso i primi del 700 da Jakob Bernoulli

Come ragiona la nostra mente

Secondo le attuali teorie psicologiche, esistono tre diversi tipi di modi di ragionare; ognuno di questi scaturisce quando si conoscono due elementi di base di un ragionamento logico e si desidera ottenere il terzo.

• Deduttivo si conosce la premessa e la regola e si intende ricavare l’esito;
  
• Induttivo, quando si conoscono la premessa e l’esito e si intende risalire alla regola;
  
• Abduttivo, quando si conoscono la regola e l’esito e si intende ricostruire la premessa

Inganni probabilistici

E’ bene tenere presente che il calcolo delle probabilità costituisce la branca della matematica dove è più facile compiere ragionamenti sbagliati. Utilizzando i suoi strumenti, può capitare non solo di ottenere una soluzione falsa e ritenerla vera, ma anche di ottenerne una vera e di considerarla falsa. Spesso infatti, i risultati a cui porta appaiono paradossali, anche dopo aver esaminato con attenzione una loro rigorosa dimostrazione. Questa caratteristica insidiosa è dovuta alla natura piuttosto capziosa delle problematiche di cui si occupa la disciplina, ma è aggravata anche dal fatto che la rilevazione oggettiva di un eventuale errore d’impostazione può scaturire da un controllo sperimentale dei risultati teorici ipotizzati. Una verifica del genere, però non sempre è attuabile e in ogni caso dovrebbe basarsi su un numero elevato di prove.

L’errore che si commette più frequentemente, quando si calcola la probabilità di un determinato evento, riguarda il conteggio dei casi possibili e di quelli favorevoli all’evento. Questo tipo di svista ha un origine essenzialmente logica, e quindi può scaturire anche quando i casi da prendere in considerazione sono pochi.

Provate ad esempio, a rispondere alla seguente semplice domanda:
“In una famiglia ci sono due figli, dei quali almeno uno è maschio ; qual è la probabilità che l’altro figlio sia femmina ?”

Intuitivamente, si è portati a ritenere che tale probabilità sia uguale a ½; ma è una risposta errata …Infatti, ci sono tre modi possibili di avere due figli , uno dei quali maschio, e possono essere indicati

MM – MF –FM

Come si può facilmente notare, in due casi, l’altro figlio è femmina mentre in un caso solo è maschio (MM)

Di conseguenza la probabilità che l’altro figlio sia femmina è uguale a 2/3
La risposta sarebbe stata corretta se l’enunciato del problema fosse stato il seguente: “ In una famiglia ci sono solo due figli, il primo dei quali è un maschio; qual’ è la probabilità che l’altro figlio sia femmina ?”

Un altro Esempio :
Jones, un giocatore d’azzardo, mette tre carte coperte sul tavolo. Una delle carte è un asso; le altre sono due figure. Voi appoggiate il dito su una delle carte, commettendo che sia l’asso.

Ovviamente la probabilità che lo sia realmente è pari a 1/3. Ora Jones dà una sbirciatina di nascosto alle tre carte. Dato che l’asso è uno solo , almeno una delle altre carte che non avete scelto deve essere una figura. Jones la volta e ve la fa vedere. A questo punto, qual è la probabilità che ora il vostro dito sia sull’asso?

Nota questo è uno dei più intriganti problemi divulgati da Martin Gardner, il più grande esperto di matematica ricreativa di tutti i tempi. La soluzione è la seguente “Molti pensano che la probabilità sia salita da 1/3 a ½. Dopotutto ci sono solo due carte coperte, e una deve essere l’asso. In realtà la probabilità rimane 1/3 , anche se Jones sembra aver eliminato parzialmente l’incertezza mostrando che una delle due carte non prescelte no è l’asso. La probabilità che l’altra delle due carte non prescelte sia l’asso, tuttavia resta uguale a 2/3 perché la scelta è avvenuta prima. Se Jones vi delle l’opportunità di spostare la vostra scommessa su quella carta, dovreste accettare passando da 1/3 a 2/3 le probabilità di vincita.

Martin Gardner presentò per la prima volta questo problema nell’ottobre del 1959 in una formulazione diversa (al posto delle tre carte c’erano tre prigionieri, uno dei quali era stato graziato dal governatore locale ) il quesito è noto anche “dilemma di Monty  Hall” perché nel 1990 (in una versione che comprendeva tre porte, dietro le quali si celavano un’automobile e due capre) venne proposto agli ospiti di un celebre gioco a premi televisivo americano il cui conduttore si chiamava appunto Monty Hall . Nello stesso periodo la scrittrice e giornalista  Marilyn vos Savant, considerata la persona con il più alto quoziente del mondo, riportò una propria analisi del paradosso sulla popolare rivista Parade. L’interpretazione fornita dalla vos Savant era ineccepibile ma la donna ricevette migliaia di lettere infuriate (molte delle quali inviate da docenti di matematica !)

La teoria dei ritardi

C’è una falsa convinzione che, con il trascorrere del tempo, tutti gli eventi legati ad una determinata situazione siano destinati a realizzarsi una stessa quantità di volte; per cui più uno di questi tarda a manifestarsi, più cresce, per compensazione, la sua probabilità di verificarsi in futuro.

Ad esempio se si lancia una moneta 4 volte di seguito si hanno 16 potenziali successioni di uscita

TTTT – TTTC – TTCT – TCTT – CTTT – TTCC – TCTC – CTTC – TCCT – CTCT – CCTT – TCCC – CTCC - CCTC  - CCCT - CCCC

Come si vede, in un solo caso su 16 si ha l’uscita  di 4 teste su 4 lanci (TTTT) di conseguenza, la probabilità relativa a un tale evento prima di iniziare a lanciare la moneta è uguale a 1/16. Ciò non autorizza, però a dedurre che, se dopo tre lanci successivi si sono ottenute 3 teste di seguito (TTT), è più probabile che il lancio successivo esca croce. A questo punto, infatti delle 16 successioni previste all’inizio, solo 2 sono ancora attuabili TTTC e TTTT, entrambe  con ½ di probabilità, tutte le altre non possono essere prese in considerazione in quanto nessuna di loro inizia con TTT

Il metodo della martingala
In realtà, un sistema per vincere con sicurezza ai giochi d’azzardo esiste ed è stato ideato, verso la metà del Settecento, dal matematico filosofo francese Jean-Baptiste d’Alembert esponente di spicco dell’ illuminismo. Per mettere a frutto questa tecnica si deve stabilire una posta iniziale e bisogna poi giocare di continuo fino all’avverarsi dell’evento, avendo l’accortezza di incrementare la posta ad ogni puntata. Peccato che per poter applicare con profitto un sistema del genere, sia necessario avere a disposizione non solo un capitale molto grande ma addirittura infinito.
Le insidie della statistica

Un errore frequente consiste nell’invertire i ruoli della causa e dell’effetto in merito ad un determinato fenomeno. Ad esempio, diversi studi statistici hanno accertato che gli incidenti stradali sono causati prevalentemente da autobilisti assolutamente sobri. Questo vuol dire che, per non rischiare di avere incidenti, è consigliabile guidare completamente sbronzi ? Certamente no. Se si considera che la maggior parte delle persone non guida in stato di ubriachezza, si può comprendere il motivo per cui la percentuale più alta degli incidenti stradali non è provocata da automobilisti brilli …

I cantanti di successo sono in prevalenza primogeniti. Questo significa che i primogeniti sono più intonati ? Indipendentemente dal ceto sociale preso in considerazione, la percentuale dei figli primogeniti è sempre maggiore  di quella relativa ad altre categorie di figli. Infatti devono essere considerati primogeniti anche i figli unici …

Casi dell’ altro mondo

Nella pratica quotidiana vi è una diffusa tendenza a considerare impossibili le coincidenze che sono solo molto improbabili;  per cui si rimane particolarmente colpiti quando qualcuna di esse si verifica. Un tale atteggiamento può diventare piuttosto pericoloso se spinge ad attribuire a fattori occulti il verificarsi di coincidenze apparentemente inspiegabili.

Da tenere presente che in base a stime attendibili, in Italia esercitano ufficialmente la professione di mago ben 22.000 persone, delle quali 7000 operano su internet. Il giro di affari è valutato intorno ai 5 miliardi di euro. I cittadini che, almeno una volta in un anno, si rivolgono a un mago sono circa 12 milioni (un quinto della popolazione)
In generale tutte le presunte profezie presentano la caratteristica di essere espresse in forma così vaga da poter essere adattate, a posteriori agli eventi più disparati. Questa tecnica ambigua nella formulazione di presagi è molto antica e risale almeno all’antica Grecia. A tale riguardo, è celebre il responso dell’oracolo di Delfi tramandato dai romani : ibis redibis, non morientis in bello che a seconda della posizione della virgola, poteva essere interpretato come:

ibis, redibis, non morientis in bello (andrai, ritornerai non morirai in guerra)

oppure
ibis, redibis non,morientis in bello (andrai, non ritornerai, morirai in guerra)

Il termine superstizione deriva dal latino superstitiònem che nel suo significato originario indicava in maniera dispregiativa, il comportamento di coloro che invocavano insistentemente le divinità chiedendo di essere preservati dalla cattiva sorte, ovvero risultare superstiti.

Segnati dalla nascita

Nel 1886 uno studente di chimica statunitense, Charles Martin Hall, ideò un procedimento economico di preparazione dell’alluminio utilizzando rudimentali batterie elettriche. Per puro caso lo stesso anno in maniera del tutto indipendente, un esperto di metallurgia francese, Paul- Louis Toussaint Hèroult, ideò lo stesso sistema, che venne pertanto chiamato”procedimento hall-hèroult”. Ma le coincidenze non finiscono qui. I due inventori, oltre ad avere un cognome che inizia con la lettera H, sono entrambi nati nel 1863 e morti nel 1914.

Margherita Hack, celebre astrofisica italiana è nata a firenze il 12 luglio 1922 in una stradina dal nome profetico: “via cento stelle”.

Maurizio Zuzzaro

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