Errori di tipo logico o matematico
Sono errori molto piú comuni di quello che si puó pensare. Essi derivano dalla mancata conoscenza dei principi della logica e della matematica , e piú in generale da quella che A. Paulos ha chiamato "innumeracy" (incapacità di lavorare con i numeri). Si tratta dunque di errori di tipo normativo, dovuti appunto all'ignoranza delle "norme" . Commette un errore di questo tipo, chi pensa ad esempio, che nel lungo periodo sia possibile giocare alla roulette e vincere. Ma esistono molti altri esempi piú interessanti. Eccone un paio:
(a) Supponiamo di dover consigliare uno speculatore sulla quota del suo capitale da investire sul mercato. Il capitale è pari a 1000 e possiamo dire con certezza che lo speculatore riesce ad indovinare la direzione del mercato il 60% delle volte. Quando lo speculatore indovina, guadagna un importo pari a quello investito e quando perde, perde tutto quanto ha investito. Il nostro obiettivo è quello di ottimizzare il risultato economico dello speculatore nel lungo periodo sfruttando la sua non comune abilità nel prevedere il mercato. Risposta .
(b) La probabilità di trovare due persone con lo stesso compleanno (nate lo stesso giorno anche se in anni diversi) in un gruppo di 23 elementi, è piú alta o piú bassa del 50%? Risposta .
Errori di valutazione della casualità di un evento
Se talvolta siamo portati a giudicare "coincidenze" eventi anche molto probabili, altre volte commettiamo l'errore inverso e cioè riteniamo esistano spiegazioni elaborate per eventi puramenti casuali.
Molte persone non sembrano capire che possono esistere degli eventi che sono governati dal caso e dalle leggi di probabilità e ricerca comunque delle spiegazioni diverse anche quando esse sono inesistenti. I movimenti dei prezzi sul mercato finanziario non sono certamente del tutto casuali, ma è abbastanza corretto assumere che numerosi movimenti (specialmente quelli che avvengono in periodi brevi come all'interno della giornata), sono fortemente influenzati dal caso. Supponiamo ad esempio di avere una sequenza binaria generata casualmente: 0000010101001110010111 è una sequenza che ho generato in questo momento con il mio computer. Nonostante la sequenza sia perfettamente casuale, vi sono dei raggruppamenti di 0 e di 1. Se fossimo costretti a dare una spiegazione di questo fenomeno, troveremmo delle spiegazioni che sono necessariamente false. Tuttavia è spesso stupefacente ascoltare le elaborate spiegazioni di fine giornata dei commentatori economici sulle ragioni che hanno guidato i movimenti dei prezzi. Sembrano esistere un certo numero di spiegazioni standardizzate (presa di profitto, reazione tecnica, miglioramento delle aspettative di guadagno, euforia, ecc.) che possono spiegare qualsiasi movimento, anche quelli determinati semplicemente da una sequenza casuale di ordini in domanda ed in offerta! Ecco alcuni esempi.
(a) Le coincidenze esistono!
Cristoforo Colombo scoprí il Nuovo Mondo nel 1492 e un altro italiano, Enrico Fermi scoprí il nuovo mondo dell'atomo nel 1942.
Il rapporto tra l'altezza del grattacielo Sears a Chicago e l'altezza del palazzo Woolworth a New York è uguale al rapporto tra la massa di un protone e la massa di un elettrone (al quarto decimale!).
La segretaria del presidente Kennedy si chiamava Lincoln, mentre la segretaria del presidente Lincoln si chiamava Kennedy. Entrambi i presidenti furono assassinati mentre erano in carica.
Ve ne sono molte altre. Pseudo-scienze come la numerologia, la parapsicologia, i bioritmi, la predizione dai sogni, la predizione dei mercati, eccetera trovano fertile terreno nel cercare di fornire spiegazioni alle coincidenze. D'altra parte - osservava anni fa Isaac Asimov - cosa ha la scienza ufficiale da fornire in cambio in questo caso? Solo insicurezza ed incertezza. Molti preferiscono il messaggio rassicurante delle pseudoscienze, una sorta di "coperta di Linus" da stringere a sè.
(b) Le coincidenze esistono e qualcuno lo sa! Assumete di ricevere in omaggio una newsletter da un consulente finanziario. Per sei volte di seguito la newsletter predice correttamente, per la settimana seguente, l'andamento del mercato (rialzo o ribasso). Paghereste per ricevere la settima newsletter? Se rispondereste positivamente, guardate un po' qui .
Errori di campionamento
Questi errori, estremamente comuni, sono dovuti all'incapacità di valutare la significatività del campione da cui essi derivano . La media di un grande campione puó essere la stessa di un piccolo campione, ma i valori estremi del grande campione saranno in generale ben piú "estremi" di quelli del piccolo campione. Per esempio, il livello medio di un fiume su un periodo di 25 anni sarà piú o meno lo stesso del livello medio registrato quest'anno. Tuttavia, è assai probabile che il livello della peggiore piena registrata in 25 anni, sia di gran lunga superiore al livello della peggiore piena registrata quest'anno. Il matematico Paulos osserva che una conseguenza di questo fatto, è che di solito la brutta notizia "internazionale" riportata dal telegiornale è di regola peggiore di quella "nazionale" che tende a sua volta ad essere sempre peggiore di quella "locale".
L'errore di campionamento è aggravato dalla tendenza, che spesso mostriamo, a filtrare le cattive notizie e a focalizzarci sulle buone . Ad esempio sui mercati finanziari gli investitori (e i fondi) che non hanno successo generalmente se ne stanno quieti e certo non si fanno molta pubblicità. Ci sarà sempre un certo numero di persone (e di fondi) che ha successo e che annuncerà con grande fanfara che il suo successo è stato dovuto ad una particolare metodologia di investimento. Questo fenomeno è ancora piú evidente quando si considera che le società di gestione spesso "chiudono" o liquidano i fondi che non hanno una buona performance. Il risultato è che i fondi restanti hanno sempre, in media, delle ottime performance!
Questo fenomeno è stato riconosciuto anche dai gestori dei casinó che hanno fatto in modo che le slot-machines producano tutta una serie di suoni e rumori quando registrano una vincita, ma rimangano del tutto silenziose in caso di perdita. In questo modo, uno scommettitore che entra nel casinó sente e vede gli effetti prodotti dalle numerose slot-machines ed ha l'impressione che si vinca sempre.
Un esempio è il seguente. Una città è servita da due ospedali. Nel primo ospedale nascono in media 45 bambini al giorno, mentre nel secondo ne nascono in media solo 15. Come sapete, la probabilità che un neonato sia maschio piuttosto che femmina è del 50%, ma la percentuale esatta varia da giorno a giorno e puó essere piú alta o piú bassa. I due ospedali hanno contato su un periodo di un anno, tutti i giorni in cui piú del 60% dei neonati erano maschi. Secondo voi, quale dei due ospedali è probabile che abbia realizzato il maggior numero di tali giorni? Risposta .
Altri errori normativi
Tra gli altri possibili errori normativi, uno particolarmente interessante, ma piuttosto complesso, è una variazione dell'errore di campionamento è l'errore che si commette mal valutando gli effetti incrociati che esistono tra l'affidabilità del campione ed un'altra misurazione statistica. Faró un solo accenno a questo tipo di errore prendendo a prestito dagli psicologi Tversky e Kahneman un esempio che servirà a chiarire il problema.
Un taxi ha causato un incidente la scorsa notte ed è scappato. In città ci sono due gruppi di taxi, i verdi ed i blu. Si conoscono i seguenti dati:
(a) l'85% dei taxi in città è verde ed il 15% è blu
(b) un testimone ha detto che il taxi che ha causato l'incidente era blu
(c) il tribunale ha accertato che il testimone, di notte, riesce a distinguere correttamente i colori nell'80% dei casi (nel 20% dei casi si sbaglia).
Di quale colore è piú probabile che sia il taxi che ha causato l'incidente?
Nonostante ció che ha detto il testimone, la probabilità che il taxi sia blu è solamente del 41%. Essa si ricava applicando la regola di Bayes. Evitando formule matematiche, possiamo dire che la probabilità che il taxi sia effettivamente blu è bassa perchè il basso numero di taxi blu presenti in città matematicamente pesa di piú della credibilità del testimone.
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