La logica sfuocata e l'algoritmo di previsione. Come già è stato anticipato, con un approccio in logica sfuocata si possono descrivere le incertezze e le ambiguità, o meglio la parziale conoscenza, relative ad un fenomeno (fisico, sociale, economico .).

Per formalizzare matematicamente la vaghezza di un concetto si definiscono le "membership function" che esprimono una misura della similarità dell'oggetto considerato ad una ideale classe di riferimento (2). Supponiamo di voler definire, ad esempio, l'insieme dei "titoli da vendere"; sicuramente possiamo ritenere che titoli con un prezzo molto basso (inferiore ad una certa soglia, ad esempio 50) non siano vendibili con profitto, mentre quelli con prezzo molto elevato (ad esempio superiore a 100) possono essere venduti profittevolmente.

Il problema si pone per i titoli con prezzo intermedio, che, a seconda dei casi, possono essere considerati "da vendere" o meno. Tale inconveniente nella logica sfuocata viene superato definendo un'opportuna funzione di appartenenza (vedi figura 1) che indica in che misura un titolo appartiene alla classe dei "titoli da vendere".

Così un titolo con prezzo superiore a 100 è sicuramente vendibile (valore della funzione di appartenenza prossimo a 1), e un titolo con prezzo inferiore a 50 sicuramente non lo è (valore della funzione di appartenenza prossimo a 0). Per un titolo con prezzo pari a 75, che a seconda delle circostanze può essere giudicato sia vendibile che acquistabile da parte di un operatore, la funzione di appartenenza assume, coerentemente, un valore pari a 0,5.

Con la logica sfuocata, dunque, non si attribuisce ad un evento la sola condizione di "vero" o "falso", ma si può associare a quello stesso un vasta gamma di condizioni. In altre parole dal valore 1 (condizione VERA) al valore 0 (condizione FALSA) si può giungere attraverso una distribuzione continua di valori.

Un sistema pratico in logica "fuzzy" utilizza una lista di regole del tipo:

IF (condizione) AND (condizione) THEN (conseguenza), e può essere scomposto in tre parti (Figura 2 ): fuzzificazione (confronto del valore d'ingresso con gli insiemi "fuzzy" prefissati e calcolo dei gradi di appartenenza ai vari insiemi); valutazione in base alla regola; defuzzificazione (conversione dei risultati del processo di valutazione in un valore d'uscita).

Analiticamente una singola regola "fuzzy" si indica nel modo seguente (3):

Ri: if x1 is Ai1 and x2 is Ai2 and . and xn is Ain Then y is Bi , i=1,2,.,m.

Dove x1, x2, ., xn sono le variabili di input del sistema;
y è la variabile di output;
Aij e Bi sono insiemi "fuzzy", le cui funzioni di appartenenza permettono di calcolare

i valori di verità delle singole regole.

Nel nostro caso gli input del sistema sono dati dai valori ritardati della serie storica analizzata x(t-1),., x(t-n), e l'output y rappresenta il valore previsto per la variabile futura xt.

Poste alcune condizioni circa la forma delle funzioni di appartenenza Aij(·) e Bi(·), e circa gli operatori logici "and" e "then" (4), è possibile ottenere un'espressione in forma chiusa per il previsore di x(t+k):

Dove bi, cij, sij sono dei parametri determinati tramite opportuni algoritmi di clustering e di affinamento ricorsivo.

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