Un'opzione e' un contratto che conferisce al compratore il diritto di acquistare (Call) o vendere (Put) un bene ad un prezzo prefissato (detto strike price o prezzo di esercizio) ad una certa data futura. Le opzioni possono essere di tipo europeo o americano. Nel caso siano di tipo europeo il diritto puo' essere esercitato solo alla scadenza, se sono di tipo americano il compratore puo' esercitare il suo diritto in qualsiasi momento e non soltanto alla scadenza.

A fronte della stessa attivita' sottostante sussistono diversi contratti di opzione Call oppure Put a seconda del prezzo di esercizio. Solitamente se il prezzo d'esercizio di un'opzione Call (Put) e' inferiore (superiore) al prezzo corrente dell'attivita' sottostante l'opzione si dice "in-the-money" cioe' se scadesse in questo momento originerebbe un guadagno; se il prezzo di esercizio e' pari a quello dell'attivita' sottostante l'opzione si dice "at-the-money" altrimenti si dice "out-of-the money" ed in entrambi i casi non genera alcun flusso. In sostanza la differenza tra il prezzo del titolo ed il prezzo di esercizio (o viceversa) determina se un'opzione e' da considerarsi In-the-money, Atthe money o Out-of-the money, ovvero se l'eventuale esercizio genera un'entrata di cassa o meno. Un contratto di opzione da' al compratore il diritto, ma non l'obbligo, di fare qualcosa e cio' differenzia questo contratto dagli altri contratti a termine (come il contratto futures, per esempio) dove sia il compratore che il venditore si impegnano a comprare o vendere l'attivita' sottostante.

Il contratto di opzione estingue generalmente gli obblighi del compratore al momento della stipulazione con il pagamento del premio. Successivamente, il compratore non ha piu' obblighi ma soltanto la facolta' di esercitare il suo diritto. Per questo motivo il detentore di un'opzione beneficia della possibilita' di guadagni teoricamente illimitati mentre puo' subire perdite limitate (al massimo possono essere pari al premio pagato). I profitti illimitati derivano, per esempio per un'opzione Call, dal fatto che chi detiene l'opzione, se decide di esercitarla (e cioe' quando il valore dell'attivita' sottostante e' maggiore del prezzo d'esercizio) e' in grado, rivendendo subito l'attivita' sottostante ai prezzi di mercato, di guadagnare la differenza tra il valore dell'attivita' sottostante ed il prezzo di esercizio pagato. Questa asimmetria nella distribuzione dei pay-off (evidenziata nella Figura 1) e' la caratteristica principale che distingue le opzioni da tutti gli altri strumenti derivati.

Si noti comunque che la stipula di un contratto futures non costa nulla, l'acquisto di un contratto di opzione comporta un costo (il premio!).

Invece il venditore di un'opzione incassa il premio ma subisce l'esercizio del diritto di acquistare o vendere dell'acquirente. Per tale motivo il suo profilo di pay-off e' rappresentato dall'incasso del premio, che rappresenta il suo massimo profitto, mentre subisce il rischio di perdite potenzialmente illimitate. Puo' sembrare strano che qualcuno accetti un rischio di questo genere. In realta' non solo le controparti offerenti esistono, ma questa attivita' a volte si puo' rivelare piuttosto profittevole. Cio' accade grazie alla possibilita' di vendere l'opzione e di coprirsi dai rischi illimitati di tale operazione attraverso strategie dinamiche sull'attivita' sottostante generalmente effettuate da operatori professionali. Tali strategie dinamiche, chiamate "delta hedging", permettono di gestire il rischio replicando fino alla scadenza l'evoluzione del prezzo dell'opzione venduta attraverso la creazione di un'opzione "sintetica" cioe' di un portafoglio di attivita' avente lo stesso profilo di payoff dell'opzione venduta. In questo modo le eventuali perdite generate dal contratto di opzione venduto vengono compensate dai guadagni sull'opzione "sintetica".

Come si puo' replicare il profilo di pay-off di un'opzione e percio' il suo prezzo oggi che corrisponde al valore del portafoglio che ora e' in grado di replicare il profilo di pay-off dell'opzione?

Le opzioni, come tutti gli altri strumenti derivati, sono strumenti il cui prezzo dipende da quello dell'attivita' sottostante, cioe' da quella attivita' nei confronti della quale viene stipulato il contratto di opzione, secondo una relazione i cui concetti basilari vengono evidenziati con un semplice esempio.

Si consideri una situazione molto semplice in cui il prezzo di un'azione e' di Lit. 3.000 e su cui e' scritta un'opzione Call. Si ipotizzi che alla scadenza dell'opzione l'azione possa assumere solo due valori: Lit. 3200 e Lit. 2800. Il prezzo dell'opzione seguira' l'andamento dell'attivita' sottostante, cioe' dell'azione. Sappiamo che a scadenza il pay-off dell'opzione Call (e quindi il suo prezzo) e' un valore pari al maggiore tra zero e la differenza tra il prezzo corrente dell'azione ed il prezzo strike dell'opzione, che ipotizziamo essere pari a Lit. 3.100. Il valore finale dell'opzione e' Lit. 100 se il prezzo finale dell'azione e' pari a Lit. 3200 e zero se il prezzo finale dell'azione e' pari a Lit. 2.800.

La Figura 2 illustra questa situazione utilizzando un albero binomiale:

Figura 2 - Albero binomiale del prezzo di un'azione e di un'opzione.
Si consideri un portafoglio in cui e' stata venduta l'opzione ed e' stata acquistata una quantita' dell'azione. Il valore del portafoglio a scadenza e' pari a:

* 3.200-100 se il prezzo dell'azione e' salito,
* 2.800 - 0 se il prezzo dell'azione e' sceso.

Determiniamo il valore che rende il portafoglio privo di rischio. Tale valore corrisponde a pari a 0.25. Per questo valore di il valore del portafoglio nei due casi e' lo stesso:
* 2.800 - 0 = D * 3.200-100 = 700

Pertanto, per pari a 0.25, il portafoglio varra' sempre Lit. 700 a scadenza, qualsiasi sia il prezzo dell'azione. Il valore corrente del portafoglio e' pari a: 0.25 * 3.000-C = 750-C dove C e' il prezzo corrente dell'opzione Call. Essendo noto il valore a scadenza di questo portafoglio ed essendo tale valore unico, esso, in assenza di opportunita' di arbitraggio, deve avere un rendimento pari al tasso privo di rischio ad un mese. Si supponga che il tasso di interesse privo di rischio sia pari all'1% mensile. Sapendo che il valore finale del portafoglio sara', con certezza, Lit. 700, si puo' derivare il valore corrente di non-arbitraggio dell'opzione:

1,01*(750-C)=700
e percio':
C= 56.93

Il punto fondamentale che emerge da questo esempio e' che il prezzo di una Call puo' essere replicato da un'adeguata posizione ( ) nell'attivita' sottostante.

Si noti che il prezzo dell'opzione non e' stato determinato seguendo il classico approccio del valore atteso oppure del valore a cui un soggetto e' disposto a scambiare un'entrata certa contro due possibili alternative caratterizzate da incertezza. In questo caso il prezzo dell'azione e' stato determinato in base all'approccio del non-arbitraggio e percio' il prezzo dell'opzione e' unico qualsiasi sia l'avversione al rischio del soggetto che compra o vende l'opzione.

Chiaramente, l'esempio e' molto semplice, nella realta' il prezzo di un'azione non assume potenzialmente solo due valori dopo un mese. Comunque, nella sostanza, il ragionamento seguito nell'esempio e' molto simile all'approccio usato da Black e Scholes (1973) nel derivare la formula di valutazione delle opzioni considerando una particolare distribuzione di probabilita' dei possibili valori che un'attivita' azionaria puo' assumere dopo un mese. Anche la formula di Black e Scholes si fonda sul principio di non-arbitraggio, cioe' sul fatto che il prezzo di un titolo derivato e' corretto quando non sussistono opportunita' di profitto prive di rischio che possono essere realizzate attraverso la contemporanea negoziazione dell'opzione e dell'attivita' sottostante. Per una trattazione piu' formale della formula di Black e Scholes si rimanda a testi specializzati, ed in particolar modo al libro di Hull (1998). Ci limitiamo in questa sede alla semplice presentazione della formula di valutazione delle opzioni su azioni. Secondo la formula di Black e Scholes il valore di una Call e di una Put europea e' dato da:

Dove

dove S e' il prezzo corrente dell'azione, N(.) rappresenta la funzione di ripartizione della distribuzione normale standard, r e' il tasso di interesse privo di rischio, X e' il prezzo strike, (T-t) e' il tempo a scadenza espresso in anni e s e' la volatilita', cioe' lo scarto quadratico del rendimento dell'azione.

E' importante soffermarsi brevemente sui principali fattori che influenzano il prezzo di un'opzione europea scritta su un'azione. Essi sono: (i) il prezzo dell'azione, (ii) il prezzo di esercizio, (iii) il tasso di interesse privo di rischio, (iv), la volatilita', (v) il tempo a scadenza. L'influenza di questi fattori nel prezzo di una Call o di una Put sono riassunti nella Figura 3. Gli effetti del prezzo dell'azione sottostante e del prezzo di esercizio su una Call oppure su una Put sono abbastanza intuitivi. Il valore finale di una Call che viene esercitata e' pari alla differenza tra il prezzo dell'azione ed il prezzo di esercizio. Percio' le calls valgono di piu' al crescere del prezzo dell'azione e meno al crescere del prezzo di esercizio.

Puo' sembrare strano invece che la volatilita' non produca effetti simmetrici tra Call e Put ma lo stesso effetto. La spiegazione intuitiva di tale risultato e' dovuta al fatto che un'alta volatilita' accresce la possibilita' che l'azione salga o scenda molto. Tuttavia, colui che possiede un'opzione puo' beneficiare senza limiti di un movimento a lui favorevole del prezzo dell'azione mentre il rischio di un movimento avverso e' limitato al premio pagato. Quindi la volatilita' e' gradita al detentore di un'opzione e questo e' riflesso nel prezzo.

Si consideri ora l'effetto della data di scadenza. All'aumentare del tempo a scadenza il premio di una Call europea cresce poiche' diminuisce il valore attuale del prezzo di esercizio ed aumenta la volatilita' (che e' proporzionale al tempo). Per una Put europea invece, il tempo ha due effetti contrastanti sul premio: da una parte lo accresce aumentando la volatilita', dall'altra lo riduce, diminuendo il valore attuale del prezzo di esercizio. Pertanto non e' certo se un aumento del tempo a scadenza genera un aumento o una dimunuzione del valore della Put.
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Variabile C P
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prezzo dell'azione + -
prezzo d'esercizio - +
durata opzione ? +
+ volatilità dell'azione +
tasso di interesse + -
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Figura 3 - Alcune determinanti del prezzo di un'opzione europea.

Dall'analisi delle diverse componenti del prezzo di un'opzione appare chiaro che tale prezzo si caratterizza per due componenti: il valore intrinseco ed il valore temporale, evidenziati nella Figura 4. Il valore intrinseco (intrinsic value) e' il valore reale o tangibile dell'opzione, in sostanza quanto vale l'opzione se scadesse oggi. Se il prezzo di un'azione e' di Lit. 3.000 e il prezzo d'esercizio di un'opzione e' Lit. 2.800 il suo valore intrinseco e' di Lit. 200.

La seconda componente del prezzo di un'opzione e' detta valore temporale (time value) e dipende da due variabili: (i) il tempo che intercorre tra la data di acquisto e la data di scadenza dell'opzione e (ii) la volatilita' del titolo sottostante entro la data di scadenza dell'opzione (ovvero la variabilita' attesa del prezzo del titolo). In particolare, il valore temporale di un'opzione esprime il premio, aggiuntivo rispetto al valore intrinseco, che il venditore di un'opzione vuole ricevere per cautelarsi da variazioni di prezzo del titolo sottostante a lui sfavorevoli. Analogamente corrisponde al premio, aggiuntivo rispetto al valore intrinseco, che l'acquirente dell'opzione e' disposto a pagare nella prospettiva che il valore intrinseco dell'opzione aumenti durante il periodo che va dall'acquisto dell'opzione alla sua scadenza.

Figura 4- Valore intrinseco e valore temporale di un'opzione.

Un ultimo aspetto importante per quanto riguarda le caratteristiche delle opzioni e' il legame che esiste tra un contratto Call ed un contratto Put. A parita' di prezzo di esercizio e data la simmetria dei pay-off tra un contratto Call ed un contratto Put si ha che la differenza fra i prezzi di una Call e di una Put aventi uguale scadenza e prezzo di esercizio devono uguagliare la differenza tra il valore dell'attivita' sottostante ed il valore attuale del prezzo di esercizio. Questa relazione e' detta Parita' Put-Call (Put-Call parity) e si tratta di una condizione di equilibrio nell'ipotesi di assenza di possibilita' di arbitraggio.Essa puo' essere formalmente espressa come:

Puo' essere infatti facilmente verificato che un portafoglio composto da una Call ed una posizione in denaro pari al valore attuale del prezzo di esercizio corrisponde ad un portafoglio composto da una Put e dall'attivita' sottostante.

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