Presentiamo ora alcuni risultati tratti da [Billio et al., 2001]. L'impostazione seguita è quella delineata precedentemente nelle sezioni 3 e 4. In particolare i dati si riferiscono ad opzioni call di tipo europeo scritte sull'indice azionario FTSE-100 per il periodo che va dal 04.01.2000 al 24.12.2000 (per un totale di 7741 esempi). Da tale insieme di pattern se ne sono opportunamente estratti 2500 utilizzati nella fase di addestramento e di selezione della RNA, esempi che a loro volta sono stati suddivisi come segue nei seguenti insiemi di dati:

. training set: insieme composto da 2000 esempi scelti casualmente dall'insieme delle
opzioni trattate dal 04.01.2000 al 31.10.2000; tali dati vengono utilizzati al fine di stimare i valori dei pesi liberi delle RNA;

. validation set: insieme composto da 500 esempi scelti casualmente dall'insieme delle opzioni trattate dal 04.01.2000 al 31.10.2000 una volta estratto il training set; tali dati vengono utilizzati al fine di individuare il momento in cui terminare la fase di apprendimento della RNA;

. running set: insieme composto da esempi costruiti a partire dalle opzioni trattate dal 01.11.2000 al 24.12.2000; tali esempi vengono utilizzati al fine di verificare le prestazioni della RNA in fase applicativa.

Il tempo mancante a scadenza è stato calcolato facendo riferimento ai soli giorni lavorativi.

I dati sui tassi d'interesse utilizzati al fine di ottenere una buona stima di tale parametro sono i seguenti tassi interbancari: tasso a brevissimo termine (una settimana), tassi a 1, 3, 6, 12 mesi [In particolare, viene utilizzato il London Interbank Offer Rate (LIBOR) sulla sterlina]. Il tasso d'interesse che si accorda con il tempo a scadenza di ciascuna opzione viene ottenuto interpolando linearmente i due tassi interbancari più
vicini.

Il tasso di dividendo è stato ricavato dal sito Internet della borsa londinese, il London Stock Exchange [L'indirizzo web di tale sito è: "http:\\www.londonstockexchange.com"]. Nella nostra applicazione consideriamo tale parametro costante non solo per tutta la vita residua della singola opzione, ma anche per tutto il periodo considerato e, quindi, per tutte le opzioni valutate [Infatti, si è osservato che durante il periodo considerato il parametro non ha subito grandi oscillazioni,
mantenendosi vicino al livello considerato].

Infine, la stima della volatilità è ottenuta implicitamente dai prezzi di mercato delle opzioni medesime. In particolare, è stata effettuata una media semplice delle volatilità implicite legate alle due opzioni i cui prezzi di esercizio sono più vicini al
prezzo del bene sottostante, data una certa scadenza.

Andiamo ora a presentare le prestazioni in termini di RMSE delle RNA addestrate, ciò al fine di individuare, sulla base dell'errore commesso, la RNA più idonea ad essere utilizzata a fini applicativi. Si ricorda che le prove sono state effettuate
considerando diverse configurazioni iniziali dei pesi, come suggerito dalla letteratura.

Tabella 5.1 - RMSE·10-3

N. di nodi dello strato nascosti	RMSE sul training set	RMSE sul validation set
2	3.796	3.680
3	1.818	1.909
4	1.597	1.736
5	1.459	1.604
6	1.440	1.604
7	1.376	1.514
8	1.341	1.451
9	1.331	1.466

Come si può vedere dalla terza colonna della Tabella 5.1, la rete che ottiene i risultati migliori nel validation set è quella rete caratterizzata da otto nodi nello strato nascosto (nel seguito: Rete 8) che, quindi, sarà quella utilizzata a fini applicativi.

Come si può vedere dalla Tabella 5.2, l'errore compiuto dal modello neurale sul running set risulta minore non solo dell'errore compiuto dal modello di B-S, ma anche dell'errore compiuto dalla stessa RNA quando calcolato sul training set.
Verosimilmente, questo risultato è dovuto al fatto che il running set è composto da un numero limitato di opzioni e soprattutto appartenenti a particolari categorie.

Tabella 5.2 - RMSE nella fase applicativa

	Rete 8	B-S
Running set	1.155	4.242

Dopo aver verificato che le prestazioni out of sample sono soddisfacenti, andiamo ad analizzare le prestazioni in sample, ovvero il comportamento del modello neurale nell'insieme di dati utilizzati nella sua fase di implementazione e sviluppo. Al
fine di verificare se le prestazioni del modello varino in funzione del valore assunto dagli input, si suddividono come di seguito indicato le opzioni considerate nel periodo che va dal 04.01.2000 al 31.10.2000:

. con riferimento al rapporto tra il valore dell'indice ed il prezzo di esercizio, individuando cinque categorie (Tabella 5.3),

. con riferimento al tempo mancante alla scadenza, individuando tre categorie (Tabella 5.4).

Nel presentare i risultati ottenuti proponiamo anche un confronto con i corrispondenti errori compiuti dal modello B-S, ciò al fine di permetterne una migliore comprensione e lettura.

Tabella 5.3 - RMSE con riferimento a S/X

	Rete 8	B-S
Deep-in-the-money	1.543	7.603
In-the-money	1.404	6.460
Near-the-money	1.241	3.263
Out-of-the-money	1.445	4.595
Deep-out-of-the-money	1.531	9.169
Totale In-sample	1.429	6.402

Tabella 5.4 - RMSE con riferimento al tempo mancante a scadenza

	Rete 8	B-S
Breve termine	1.311	3.764
Medio termine	1.415	6.560
Lungo termine	1.529	7.759
Totale In-sample	1.429	6.402

L'analisi dei risultati riportati nelle Tabelle 5.1-5.4 porta alle seguenti considerazioni:

. le prestazioni della RNA nell'analisi in the sample sono sempre migliori di quelle del modello di B-S per tutte le categorie di opzioni considerate;

. il comportamento risulta qualitativamente simile per i due modelli; l'errore tende ad aumentare all'aumentare del tempo mancante a scadenza e tende ad essere più elevato per prezzi di esercizio che si allontanano dal valore dell'indice.

Inoltre, l'analisi condotta non sembra evidenziare, con riferimento alle varie categorie di opzioni considerate, una particolare struttura dell'errore, non rivelando una tendenza, da parte della RNA, a generare valori delle opzioni sistematicamente inferiori o superiori a quelli di mercato. Piuttosto, l'errore compiuto può essere imputato in buona parte a "rumore", particolarmente presente nel caso di opzioni scarsamente trattate quali, appunto, quelle deep-in-the-money oppure quelle deep-out-of-the-money.

In conclusione, i risultati si possono considerare sicuramente soddisfacenti ed in linea con quanto ottenuto dagli altri Autori citati in questo lavoro.

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