Prima di affrontare nello specifico lo sviluppo della RNA secondo i punti precedentemente elencati, rivediamo brevemente la derivazione della formula di Black e Scholes. I due Autori, sulla base di determinate "condizioni ideali", derivano un'espressione in forma chiusa per determinare il prezzo di una opzione call di tipo europea scritta su di un'azione. Le ipotesi sulle quali si basa lo specifico modello da noi considerato sono le seguenti:

. il tasso d'interesse a breve termine è noto e costante per tutta la durata dell'opzione,
. non si considerano costi di transazione,
. si può dare e prendere a prestito denaro illimitatamente ed allo stesso tasso d'interesse a breve termine,
. si può operare allo scoperto e
. il prezzo del bene sottostante si evolve in modo continuo secondo il seguente andamento diffusivo

indica il prezzo del bene sottostante al tempo corrente,

indica il rendimento istantaneo atteso del bene sottostante,

indica la variazione del tempo,

indica lo scarto quadratico medio (misura della volatilità) del rendimento istantaneo del bene sottostante,

indica un particolare processo di Markov, noto come processo di Wiener.

Quest'ultima ipotesi sulla dinamica del prezzo dell'attività sottostante è particolarmente importante, in quanto implica che, a scadenza, il prezzo del bene sottostante segua una distribuzione di probabilità di tipo log-Normale e, di conseguenza, che i rendimenti istantanei si distribuiscono Normalmente con varianza costante nel tempo.

Il valore dell'opzione call nel caso il titolo sottostante paghi un tasso di dividendo nel tempo uguale a q, parametro supposto noto e costante, è:

Dove:

Gli input del modello di B-S per la valutazione di opzioni su indici azionari sono quindi:

. il prezzo del bene sottostante,
. il prezzo d'esercizio,
. il tempo mancante a scadenza,
. il tasso d'interesse privo di rischio utilizzato,
. il tasso di dividendo e
. la volatilità.

Lo sviluppo di una RNA ai fini della valutazione di opzioni finanziarie è un problema complesso da affrontare in quanto molti sono gli elementi da prendere in considerazione e che influenzano in modo significativo la prestazione finale della RNA; nella sezione 3 si è proposto lo schema che si segue nel proseguio.

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