Consideriamo il caso di un portafoglio semplificato composto soltanto da due tipi di obbligazione: un titolo a breve (3 mesi) che puó essere esemplificato dal BOT oppure da un investimento in pronti contro termine, ed un titolo a lunga (10 anni) esemplificato dal Btp decennale. La decisione fronteggiata dal gestore è come allocare la percentuale di patrimonio tra obbligazione a breve ed obbligazione a lunga. Facciamo l’ulteriore ipotesi che il gestore sia avverso al rischio ed in particolare molto restio ad accettare perdite che superino un certo livello predeterminato ma sia interessato a “catturare” almeno una parte dei benefici che potrebbero derivare da un eventuale ribasso dei tassi di interesse.

E’ cosa nota che per beneficiare di un ribasso dei tassi occorre un portafoglio composto in gran parte da obbligazioni a lunga, mentre per proteggersi dai rischi di rialzo è opportuno investire gran parte del patrimonio sul breve termine. Una possibilità è data dalla strategia detta “assicurazione di portafoglio a proporzione costante” originariamente proposta per i risolvere il problema dell’allocazione di un portafoglio tra azioni ed obbligazioni da Black-Jones (1987) e Perold-Sharpe (1988) e che puó essere facilmente adattata al nostro caso.

Secondo questo approccio, la percentuale di obbligazioni a lungo termine L in portafoglio è data da:

L = m ( P - F) / P (1)

dove P è il valore del portafoglio espresso in lire, F (floor) è il livello sempre espresso in lire al di sotto del quale non si desidera che il valore di P scenda ed m è una costante positiva detta “moltiplicatore”. Se definiamo la differenza P-F (che deve essere inzialmente positiva) come il “cuscino”, possiamo dire che questa strategia equivale a mantenere una quota di investimento in obbligazioni a lungo termine proporzionale al livello del “cuscino”. Il moltiplicatore puó a sua volta essere interpretato come espressione della velocità con cui si modifica la percentuale di obbligazioni a lungo termine in portafoglio al variare del valore del cuscino e del patrimonio stesso.

Esempio

Supponiamo che il valore del nostro patrimonio sia di 1000 lire ed il prezzo (corso secco) del Btp a 10 anni sia 98. Ipotizziamo altresí di voler “proteggere” il piú possibile il portafoglio da perdite superiori a 50 lire. Abbiamo quindi: P = 1000 e F = 950. Poichè non abbiamo idea di dove il mercato possa essere diretto, decidiamo di partire investendo il 50% del portafoglio in obbligazioni a lungo termine ed il 50% in obbligazioni a breve termine.

Abbiamo quindi L = 0.50 e, dalla (1), m = 10. Vediamo ora cosa succede se il prezzo del Btp scende a 96. Assumendo che il movimento sia stato abbastanza rapido da poter trascurare senza troppa perdita di dettaglio il rateo maturato sugli interessi, il valore del nostro portafoglio si abbassa a 989.8 lire date da:

obbligazioni a breve: 500 lire

obbligazioni a lunga: 489.8 lire (= 500 × 96 / 98).

La (1) fornisce poi la successiva allocazione di portafoglio:

L = 10 × (989.8 - 950) / 989.8 = 0.402

dunque il 40.2% del portafoglio va investito in Btp a 10 anni e quindi questo valore deve passare dalle attuali 489.8 lire a 398 lire mentre la differenza si va a riallocare sul breve termine. Avremo quindi 398 lire investite sul lungo e 591.8 sul breve. Se invece di scendere a 96 il prezzo del Btp fosse salito a 100 il valore del portafoglio sarebbe aumentato a 1010.2 lire cosí composto:

obbligazioni a breve: 500 lire

obbligazioni a lunga: 510.2 lire (= 500 × 100 / 98).

In questo caso la (1) avrebbe fornito la seguente successiva allocazione:

L = 10 × (1010.2 - 950) / 1010.2 = 0.596.

Pertanto vi sarebbero state 602 lire investite sul lungo e 408.2 lire investite sul breve. Movimenti successivi del prezzo determinano in modo del tutto analogo l’evoluzione dell’allocazione tra obbligazioni a lunga ed obbligazioni a breve.

Estensioni

Il modello di base presentato nella (1) è suscettibile di diverse estensioni ed adattamenti. I principali riguardano i seguenti punti.

Floor:nella (1) si è assunto che il floor sia costante. Tuttavia il modello funziona anche se il floor è una qualsiasi funzione del tempo. Questo significa che, ad esempio, è possibile ipotizzare un floor crescente in modo continuo o anche discontinuo. Una semplice formula spesso usata è la seguente:

F(t) = F(t-1) × (1 + r) (2)

dove r rappresenta un tasso di interesse. Sono tuttavia possibili formulazioni molto piú complesse. Ció che è importante sottolineare è che la legge che determina l’andamento temporale del floor non puó comportare un livello del floor superiore al livello teorico raggiungibile da un portafoglio completamente investito in obbligazioni a breve termine nello stesso periodo di tempo.

Se ció avvenisse, ed il modello suggerito dalla (1) continuasse a valere, ci troveremmo a sostenere che è possibile generare ritorni superiori alla norma “senza rischio”. Non è altresí possibile rendere F funzione di P: ad esempio ipotizzando un “floor” mobile e pari al 95% del valore del portafoglio in ogni momento. Tale riqualificazione di F trasforma la (1) in una gestione passiva a percentuali di investimento prefissate.

Percentuale investita in obbligazioni a lungo termine: si tratta del valore che puó assumere L nella (1). Si puó osservare che L puó assumere sia valori positivi che negativi (nel caso F > P) e che L puó anche superare il valore unitario (cioè 100% investito in obbligazioni a lungo termine). Valori di L negativi denotano che al modello è concesso di vendere allo scoperto, mentre valori superiori all’unità denotano che il modello puó acquistare a debito: puó cioè fare uso di una leva finanziaria o di prodotti derivati.

Se ad esempio si desiderasse impostare una politica di portafoglio per cui non fosse possibile nè vendere allo scoperto piú del 50% del valore del portafoglio, nè assumere una posizione “lunga” maggiore del 150% del valore del portafoglio occorrerebbe limitare Lall’intervallo [-0.50 , +1.50]. Spesso, in molti portafogli obbligazionari viene seguita una politica piú conservativa ed L è limitato all’intervallo [0 , 1], rendendo impossibile qualsiasi operazione allo scoperto.

Ribilanciamento del portafoglio: in teoria la (1) deve venire ricalcolata continuamente per ogni mutamento del prezzo. In pratica, data l’esistenza di costi di transazione talvolta anche elevati e data l’impossibilità tecnica di ribilanciare il portafoglio continuamente, è conveniente ricalcolare la (1) solo per movimenti significativi dei prezzi. Esiste dunque un intervallo di prezzi per i quali non si effettua alcun aggiustamento ed in cui l’investitore si assume il rischio di variazione del valore del portafoglio.

Moltiplicatore: nella (1) si è assunto m costante e positivo ma la determinazione del suo esatto livello rimane affidata al gestore. Non esiste un m ottimale a priori perchè esso dipende sia dalla particolare volatilità registrata su ogni mercato sia dal livello del floor prescelto e dalla sua evoluzione nel tempo. L’unica soluzione a questo proposito è quella di indagare empiricamente simulando il comportamento del modello nel passato per i livelli di floor desiderati.

Orizzonte temporale: si sarà osservato che nella (1) manca qualsiasi riferimento relativamente all’orizzonte temporale dell’investitore. La strategia qui ipotizzata presenta quindi due vantaggi:

- puó teoricamente essere estesa all’infinito

- può essere interrotta una volta siano raggiunti certi obiettivi di redditività o si determinino certe aspettative di mercato.

F. Ceci

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