Il nostro scopo è adesso quello di applicare la rescaled range analysis al mercato azionario italiano per stimare l’esponente H di Hurst. La serie storica impiegata nell’analisi è quella dell’indice Comit Globale giornaliero per il periodo che va dal 2 Gennaio 1973 al 31 Gennaio 1998.

Il primo passo è quello di trasformare la serie storica dei valori dell’indice nella serie dei rendimenti mensili. La formula utilizzata per calcolare i rendimenti mensili è la seguente:

ri= ln [Comit ultimo giorno mese i / Comit primo giorno mese i ]

dove ri è il rendimento logaritmico del mese i. Si ottiene così una nuova serie composta da trecentouno rendimenti mensili dell’indice Comit.

Nel libro "Chaos and order in the capital markets" Peters utilizza la serie dei rendimenti logaritmici per svolgere l’analisi R/S del mercato azionario statunitense. Nel successivo "Fractal market analysis" invece procede ad una ulteriore elaborazione della serie dei rendimenti prima di procedere alla stima dell’esponente di Hurst.

Per questa correzione Peters parte dalla considerazione che una dipendenza lineare di breve periodo all’interno della serie dei rendimenti può disturbare la stima dell’esponente H. Questo perché si potrebbe ottenere un valore di H significativo, cioè maggiore di 0.5, ma dovuto appunto alla dipendenza lineare tra i rendimenti e non all’esistenza di una effettiva "memoria lunga" all’interno della serie storica studiata.

Per eliminare, o almeno per cercare di attenuare questo problema, Peters calcola i residui di un processo autoregressivo di ordine 1 dei rendimenti logaritmici e utilizza questa nuova serie come base di partenza per l’analisi R/S. Questo metodo non elimina completamente la dipendenza lineare tra i rendimenti logaritmici, comunque Brock, Dechert e Scheinkman suggeriscono che il problema si riduce ad un livello praticamente insignificante. In questo lavoro si utilizzerà dunque il metodo dei residui AR(1) così come proposto da Peters nel suo "Fractal Market Analysis".

Per calcolare i residui AR(1) il procedimento adottato è il seguente. Si parte dalla serie dei 301 rendimenti logaritmici mensili e si costruiscono due serie distinte. Una, che chiamiamo St, rappresenta la serie di valori della variabile dipendente e l’altra, che chiamiamo St-1 , costituisce l’insieme dei valori della variabile indipendente. Le due nuove serie dei rendimenti sono quindi sfasate temporalmente di un periodo.

A questo punto si regredisce la variabile dipendente St contro la variabile indipendente St-1 ottenendo così i valori dei parametri "a" e "b" della retta:

St = a + b*St-1 +Xt

dove Xt è il residuo AR(1) al tempo t che sarà dunque calcolato come:

Xt = St – (a + b*St-1 )

Calcolando i residui AR(1) per tutti i periodi t si ottiene una nuova serie che costituisce la base di partenza per l’analisi R/S del mercato azionario italiano. A questo punto si divide la serie dei residui AR(1) in vari gruppi di N mesi ciascuno. La lunghezza (N) di ciascun gruppo viene fatta variare da 6 a 150 mesi e quindi il numero di gruppi ottenuti varia da 50, per N=6, a 2, per N=150. Per ogni valore di N si calcola poi il rapporto R/S ad esso associato. Descriviamo adesso il procedimento seguito nel caso di N=6 che è poi lo stesso per qualsiasi altro valore di N.

Con N=6 abbiamo, come si è detto, 50 sottoperiodi di 6 mesi ciascuno. Per ognuno di essi si calcola il Range (R) nel modo che segue:

R= MAX(Xt,6) – MIN(Xt,6)

dove:

Xt,6= S t (Rt – M6)

dove:

Rt è il residuo AR(1) del mese t all’interno del sottoperiodo;

M6 è la media dei sei residui AR(1) del sottoperiodo.

Si determina poi la deviazione standard (S) dei sei residui e si calcola il rapporto R/S del sottoperiodo considerato.

Con questo procedimento si ottengono i cinquanta rapporti R/S dei quali poi si calcola la media aritmetica. Il risultato di questa media è il valore del rapporto R/S associato ad N=6 mesi. Allo stesso modo si calcolano i rapporti R/S associati ai vari valori di N ottenendo così i risultati riportati in tabella 1.

Tabella 1

N	R/S	Log(N)	Log(R/S)
6	2,071049041	0,77815125	0,316190383
8	2,521421136	0,903089987	0,401645389
10	2,782078879	1	0,444369439
12	3,282158778	1,079181246	0,516159587
14	3,658973276	1,146128036	0,563359238
15	3,632911149	1,176091259	0,560254776
16	3,867379719	1,204119983	0,587416815
18	3,995863414	1,255272505	0,601610635
20	3,999192622	1,301029996	0,601972323
22	5,080460248	1,342422681	0,705903058
25	5,312511963	1,397940009	0,725299921
26	5,411080667	1,414973348	0,733284008
30	5,777190234	1,477121255	0,761716668
32	6,140064894	1,505149978	0,788172961
36	7,159109216	1,556302501	0,854858988
42	8,218084584	1,62324929	0,914770607
50	9,308594609	1,698970004	0,968884117
60	10,66684174	1,77815125	1,028035852
75	10,66692613	1,875061263	1,028039288
100	14,28228757	2	1,154797773
150	16,5740498	2,176091259	1,219428639

A questo punto, ricordando la relazione log(R/S) = H*log(N) +log(a), per stimare l'esponente di Hurst si effettua la regressione di log(R/S) contro log(N) prendendo il coefficiente angolare della retta come valore di H. I risultati ottenuti dall'analisi R/S sono riportati nella tabella 2 mentre la figura 1 mostra il grafico della retta di regressione.

Tabella 2

Retta di regressione		: Y= 0.6777x -0,2422
R2 =0,988
Coeff. di Hurst H=		0,6777
Correlazione C(H) =		27,93%
Errore standard di H stimato =		0,017
Errore standard di Y
Stimato=		0,028

Figura 1

Il valore di H=0.6777 (più o meno 0.017) mostra chiaramente che la serie storica dell'indice Comit ha una struttura frattale e non segue un random walk. L'alto valore di R² (98.8%) ed il basso errore standard (più o meno 0.028) illustrano inoltre la bontà dell'adattamento.

Il valore osservato della statistica F è 1557.78, quindi molto maggiore del valore critico che, nel caso di un test ad una coda con a =0.05, è pari a 4.38. Inoltre il valore della statistica t è 39.4688 anch'esso quindi maggiore del valore critico che, con a =0.05 e 19 gradi di libertà è pari a 1.729.

Il coefficiente di correlazione C(H) è pari a 27.93% e ciò significa che tale percentuale misura l'impatto del "market sentiment" , generato dagli eventi passati, sui rendimenti futuri. Tale correlazione indica che l'interpretazione delle notizie non è immediatamente riflessa nel prezzo, così come sostenuto dall'ipotesi del mercato efficiente, ma si manifesta invece con ritardo nei rendimenti.

Il valore di H>0.5 implica la presenza di trends all'interno della serie storica dell'indice Comit e questo giustifica teoricamente l'utilizzo dell'analisi tecnica per sfruttare tali tendenze in modo da scegliere la strategia di compravendita più appropriata.

Poniamoci adesso il problema della validità della stima dell'esponente H di Hurst. Un valore di H significativamente diverso da 0.5 ha essenzialmente due possibili spiegazioni:

• c'è una componente di "memoria lunga" nella serie storica studiata. Ogni osservazione è correlata con un certo grado alle osservazioni che seguono;
  
• l'analisi è errata ed un valore anomalo di H non ha nessun significato particolare.
  

Possiamo testare la validità dei nostri risultati cambiando casualmente l'ordine della serie dei dati dell'indice Comit. La distribuzione di frequenza della serie storica resta invariata poiché i dati sono sempre gli stessi, ma l'ordine iniziale è completamente stravolto.

A questo punto calcoliamo con il metodo usato prima i residui AR(1) ed applichiamo nuovamente l'analisi R/S per stimare l'esponente H della nuova serie.Se la serie è veramente una serie indipendente, allora il valore di H dovrebbe rimanere sostanzialmente invariato perché non c'è correlazione fra i rendimenti.

Viceversa, se esiste una "memoria lunga" nella serie, l'ordine dei dati è importante. Variando tale ordine si distrugge la struttura del sistema. Il valore di H dovrebbe in questo caso essere vicino a 0.5 indicando così che la nuova serie segue realmente un random walk.

I risultati ottenuti sono riportati nella tabella 3 mentre in figura 2 troviamo la retta di regressione originale e quella della serie modificata.

Tabella 3

Retta di regressione:		Y= 0.5153x -0,0347
R2 =0,9757
Coeff. Di Hurst H=		0,5153
Correlazione C(H) =		2,14%
Errore standard di H
Stimato =		0,019
Errore standard di Y
Stimato=		0,030

Figura 2

La serie modificata ha un valore H=0.5117. ciò significa che la "memoria lunga" presente nella serie originale è stata distrutta e che il rimescolamento casuale dei dati ha cambiato il carattere della serie temporale. Sembra così dimostrato che il valore di H=0.6777 indica realmente che la struttura sottostante alla serie storica dell'indice Comit è una struttura frattale.

Alessandro Caforio

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