Hurst era un idrologo che lavorò al progetto di una diga sul fiume Nilo in Egitto. Il suo compito era quello di studiare un sistema di controllo della quantità di acqua contenuta nel lago artificiale in modo che questa non fosse mai troppa o troppo poca.

Il fattore principale che influenza il livello di acqua in una diga è senza dubbio la quantità di pioggia caduta e, siccome usualmente si tende ad ipotizzare che tale quantità segua un random walk, Hurst decise di provare se effettivamente il livello di acqua nella diga, misurato in periodi di tempo successivi, seguiva o meno un cammino casuale.

Per fare ciò, mise a punto un nuovo strumento statistico denominato "esponente di Hurst (H)" che, secondo l'autore, è in grado di distinguere una serie casuale da una non casuale anche se la serie casuale non è normalmente distribuita. Hurst misurò il modo in cui il livello del lago fluttuava intorno alla propria media con l'andare del tempo. Ci si dovrebbe attendere che il range di questa fluttuazione dipenda dalla lunghezza del periodo di tempo utilizzato per la misurazione. Se la serie è casuale, il range dovrebbe crescere con la radice quadrata del tempo.

Per standardizzare la misura, Hurst decise di creare un indice adimensionale dividendo il range per la deviazione standard delle osservazioni. Da ciò deriva il nome di "rescaled range analysis (R/S analysis)". Il calcolo dell'esponente di Hurst si esegue seguendo la procedura che andremo adesso a spiegare.

Data una serie storica con t osservazioni, si calcola la deviazione cumulata delle osservazioni dalla propria media, durante un certo periodo di tempo N:

Xt,n= S; t (e t - MN)

dove: - Xt,n è la deviazione cumulata del periodo N; - e t è l'osservazione t; - MN è la media delle osservazioni e t nel periodo N.

Poi si calcola il range di questa cumulata come differenza fra il valore massimo e il valore minimo che essa assume:

RN = MAX(Xt,n) - MIN(Xt,n)

A questo punto si divide RN per la deviazione standard (S) degli e t nel periodo N in modo da standardizzare la misura.
Hurst trovò che R/S poteva essere stimato ricorrendo alla seguente equazione ("Hurst's Empirical Law"):

R/S = (a*N)H

dove:

H è l'esponente di Hurst;

a è una costante;

R/S è il rescaled range.

Passando ai logaritmi, otteniamo :

log(R/S) = H*log(N) + log(a)

H può essere stimato regredendo il log(R/S) contro il log(N). Mandelbrot ha dimostrato che H può assumere un valore compreso tra zero ed uno.

Se H=0,5 la serie analizzata segue un random walk. In altri termini, il range cresce con la radice quadrata del tempo, N. Non c'è dipendenza statistica di lungo periodo.

Quando invece H è diverso da 0,5 le osservazioni non sono indipendenti fra di loro. Ognuna di esse porta dentro di se una "memoria" di tutti gli eventi che l'hanno preceduta la quale non è di breve periodo, ma è una "memoria lunga" che, teoricamente, può durare per sempre. Gli eventi più recenti hanno un impatto maggiore di quelli lontani, ma questi ultimi hanno ancora un'influenza residua.

Ciò che accade oggi influenza il futuro. Dove siamo oggi è il risultato di dove eravamo ieri. Il tempo è importante. L'impatto del presente sul futuro può essere misurato attraverso il seguente indice di correlazione:

C(H)= [2(2H-1) - 1]

<0 se HÎ (0;0.5) =0 se H=0.5
>0 se HÎ (0.5;1) Si deve notare ancora che questa funzione misura un tipo di correlazione di lungo periodo.

Ci sono tre classi di valori rilevanti dell'esponente di Hurst:

H=0.5

0£ H<0.5

0.5<H£ 1

H uguale a 0.5 ,come abbiamo detto, indica che la serie analizzata segue un random walk. Gli eventi non sono fra di loro correlati. Il presente non influenza il futuro. La distribuzione di probabilità sottostante può essere quella normale, ma può anche non essere così poiché l'analisi R/S riesce ad individuare una serie casuale indipendentemente dal tipo di distribuzione sottostante. Quando 0£ H<0.5 abbiamo un sistema nel quale se ad esempio l'ultima osservazione è "up" è probabile che il successivo movimento sia "down" e viceversa.

La forza di questa "antipersistenza" nella serie è tanto maggiore quanto più H si avvicina a zero.Un valore di H compreso tra 0.5 ed 1 implica un comportamento "persistente" della serie analizzata. Questo significa che se il trend è stato positivo nell'ultimo periodo, è probabile che sia positivo anche nel periodo successivo e viceversa.Il livello di questa persistenza è tanto maggiore quanto più H si avvicina al valore 1.

Quindi, se 0.5<H£ 1, significa che nella serie storica analizzata esistono dei trends e che questi persistono nel tempo. L'andamento di un periodo di sei mesi influenza il comportamento nei successivi periodi di sei mesi così come un periodo di dieci anni influenza gli altri periodi di dieci anni e così via. Quando Hurst ha calcolato l'esponente H per il fiume Nilo ha trovato H=0,9. Successivamente ha provato con altri fiumi trovando sempre H>0.5 così come per altri tipi di fenomeni naturali.

Questi fenomeni naturali seguono un andamento nel tempo che può essere descritto come un processo stocastico "distorto" e che è stato successivamente chiamato Fractional Brownian Motion (FBM) da Mandelbrot. Questo genere di processo implica la presenza di dipendenza di lungo periodo nelle osservazioni. Falconer ha definito l'FBM nel modo che segue. Un processo stocastico X(t), con t Î [0,+¥ ), è un Fractional Brownian Motion con esponente H Î [0,1] se:

X(0)=0 con probabilità 1;

X(t) è continuo per ogni t Î [0,+¥ );

gli incrementi [X(t+D t) - X(t)] sono normalmente distribuiti con media zero e varianza D t2H per tutti i t Î [0,+¥ ) e D t Î [0,+¥ );

Questo significa che, se H¹ 0.5, gli incrementi sono delle variabili casuali stazionarie, ma dipendenti e che questa dipendenza non è di breve periodo ma riflette la presenza di una "memoria lunga" all'interno della serie storica studiata.

Alessandro Caforio

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