I modelli di valutazione delle opzioni finanziarie rivestono un ruolo di fondamentale importanza nella moderna teoria della finanza. Nella maggior parte dei casi, tali modelli ipotizzano che il valore del bene sottostante l’opzione segua un particolare processo stocastico definito nel continuo.

Sfruttando la condizione di non arbitraggio e ipotizzando che si operi in un ambiente neutrale al rischio, si dimostra che il valore dell’opzione si ottiene attualizzando il valore atteso del payoff dell’opzione al tasso privo di rischio. Ad esempio, per un’opzione call europea si avrà:

Dove r è il tasso di interesse privo di rischio, (T-t) è il tempo mancante a scadenza ed X è il prezzo d’esercizio. Black e Scholes [3] riescono a ricavare il valore Ct nel caso in cui il prezzo del bene sottostante St evolva in modo continuo secondo il seguente andamento diffusivo (noto come moto browniano geometrico):

dove µ e σ rappresentano media e volatilità annua del prezzo del titolo e dz è la variazione di un particolare processo di Markov, noto come processo di Wiener. L’utilizzo della simulazione Monte Carlo per la valutazione del prezzo di un’opzione consiste nell’individuare dei possibili sentieri per il prezzo del bene sottostante e sfruttare l’assunzione di operare in un ambiente neutrale al rischio al fine di ricavare il valore dell’opzione come media attualizzata dei payoff.

Il primo approccio di tale tipo è stato proposto da [4] e tale contributo è anche il primo che prevede l’applicazione della simulazione Monte Carlo a tematiche di carattere finanziario. Sempre con riferimento ad un'opzione europea, i metodi Monte Carlo prevedono i seguenti passi: • generazione dei sentieri per i prezzi del sottostante a scadenza:

dove ε è un numero casuale estratto da una distribuzione normale standardizzata;

• calcolo del payoff:

• attualizzazione della media dei payoff ottenuti:

dove

In sostanza i metodi Monte Carlo stimano il valore dell’opzione calcolando una media campionaria degli M payoff attualizzati. Ricordando il teorema del limite centrale, al divergere del numero delle traiettorie M, E (Ct) attualizzato tende a una distribuzione normale con media Ct e varianza η2/v M , dove con η si indica la varianza della variabile casuale payoff. Ricordiamo che il teorema del limite centrale è valido nel caso di variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite.

Si noti come la varianza della stimatore tende ad annullarsi al divergere del numero delle traiettorie. Si possono quindi ricavare degli intervalli di confidenza e verificare come l’errore della stima sia proporzionale a η/M e non dipenda dalla dimensionalità del problema. In sostanza al fine di ottenere stime più accurate si deve aumentare il numero di simulazioni in modo quadratico. L’ingrediente base di tali metodi è perciò ε che è estratto casualmente dalla distribuzione di interesse (in questo caso la normale standardizzata).

È chiaro quindi che molti degli sforzi saranno concentrati nell’individuare delle tecniche che permettano di generare tali numeri casuali secondo opportuni criteri. Si possono individuare delle tecniche che permettono l’estrazione direttamente dalla distribuzione di interesse oppure utilizzare tecniche generali che considerano numeri casuali generati nell’intervallo unitario che vengono poi opportunamente trasformati. Con riferimento alla valutazione di opzioni finanziarie, la simulazione Monte Carlo è particolarmente adatta alle opzioni di tipo europeo (esercitabili, cioè, solo a scadenza) ed alle opzioni sentiero dipendenti [9].

Per un approccio Monte Carlo alla valutazione di opzioni americane si veda [6]. Se confrontata ad altre tecniche di valutazione, numeriche e non, alcuni autori [14] suggeriscono di considerare anche la dimensionalità del problema affrontato nella scelta della tecnica più efficiente. In particolare, per i problemi che prevedono un numero di sottostanti inferiore a tre, si suggerisce l’utilizzo di metodi alle differenze finite (o agli elementi finiti) [14], mentre per un numero maggiore si consiglia l’utilizzo di tecniche di simulazione Monte Carlo. Risulta quindi particolarmente interessante analizzare l’utilizzo delle tecniche di riduzione della varianza nei casi ad alta dimensionalità.

Di R. Casarin & M. Gobbo

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