Sfortunatamente, non tutte le funzioni di ripartizione possiedono le proprietà che permettono l’utilizzo del metodo della funzione inversa. Il metodo di simulazione noto come metodo Standard Rejection è uno strumento potente e generale per la generazione di numeri casuali da una qualsiasi variabile casuale la cui funzione di distribuzione sia nota e computabile.

L’ovvio vantaggio di tale metodo risiede nella possibilità di generare osservazioni casuali da distribuzioni non integrabili o la cui funzione di ripartizione non sia invertibile e non consenta, quindi, utilizzare il metodo della funzione inversa. Il metodo si sviluppa attraverso i seguenti passaggi fondamentali:

1. tracciare il grafico della distribuzione p(x) da cui si intende generare osservazioni casuali;

2. tracciare nello stesso grafico un’altra curva f(X) (Comparison Function) (caratterizzata da integrale invertibile) con area finita, che giaccia sempre al di sopra della distribuzione d’interesse p(X) ;

3. 1a estrazione casuale. Estrarre un numero casuale da una distribuzione uniforme tra 0 ed a (dove a è l’integrale di f(X) ) Attraverso l’inversa dell’integrale della f(X) si ottiene un valore proiettato sull’asse delle X ( X0);

4. 2a estrazione casuale. Estrarre una osservazione da una distribuzione uniforme tra 0 e f(X0) ;

5. accettare l’estrazione X0 come estrazione dalla distribuzione p(X) se la seconda estrazione (punto 4) è inferiore a p(X0) altrimenti rigettare e ripetere il procedimento (dal punto 1 al punto 5).

Tale metodo, quindi, richiede l’individuazione di una funzione di confronto (Comparison Function) che stia al di sopra della funzione di distribuzione da cui si vuole simulare ed è necessario, al fine di massimizzare l’efficienza dell’algoritmo, che abbia distanza minima dalla funzione di densità da cui si vuole simulare.

Infatti, tanto più piccola è la distanza tra la Comparison Function e la funzione di densità, tanto più piccolo è il numero di punti che vengono rigettati durante il processo di simulazione e, a parità del numero di osservazioni da simulare, minore sarà il tempo richiesto per la generazione dei dati. Un’estensione di tale tecnica è nota come metodo Extended Rejection. Oltre a presentare il vantaggio di consentire la generazione di valori da qualsiasi variabile casuale, tale metodo consente di ridurre il numero di volte in cui l’algoritmo di simulazione valuta la funzione di densità.

Tale metodo risulta particolarmente utile nella simulazione da variabilicasuali caratterizzate da funzioni di densità difficilmente trattabili dal punto di vista computazionale e richiede l’individuazione di due Comparisons Functions: la prima deve giacere al di sopra della funzione di densità, la seconda al di sotto.

Un caso particolarmente interessante è dato dalla generazione di numeri casuali normalmente distribuiti, in quanto la maggior parte delle applicazioni finanziarie si basano sull’assunzione di normalità dei rendimenti. Sfortunatamente, la funzione di distribuzione della normale non è invertibile e l’inversione numerica presenta notevoli difficoltà. Per una rassegna delle tecniche proposte per superare tale problema si veda [13].

Di R. Casarin & M. Gobbo

 

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