Strong Taylor Schemes for Stochastic Volatility

Numerical Data of the Double Integral

Using the subdivision method from Kloeden described above (page 14) with a
big integration step (K = 3000), we can calculate 1, 000, 000 double integrals
and separate them into small intervals between the original random numbers Z1 and Z2 (we use them to create our original Wiener process W1 and W2). The purpose is to calculate the mean and the variance of the double integral for the 2D Milstein given in {24}.

Mean( I (2 , 1) )					Variance( I (2 , 1) )
Z 1	Z 2	Z 1 Z 2	dt =1	dt =1 / 4	dt =1	dt =1 / 4
0.025	0.025	0.000625	0.010007	0.004162	0.079409	0.004963
0.025	0.100	0.002500	0.011555	0.002653	0.081133	0.005071
0.025	0.200	0.005000	0.019568	0.003030	0.083402	0.005213
0.025	0.300	0.007500	0.012789	0.002961	0.091702	0.005731
0.025	0.400	0.010000	0.010229	0.003629	0.097665	0.006104
0.025	0.500	0.012500	0.015630	0.002069	0.104966	0.006560
0.025	0.600	0.015000	0.023208	0.003114	0.115566	0.007223
0.025	0.700	0.017500	0.016189	0.003624	0.117808	0.007363
0.025	0.800	0.020000	0.027439	0.004620	0.137819	0.008614
0.025	0.900	0.022500	0.014564	0.005841	0.146159	0.009135
0.025	1.000	0.025000	0.017827	0.009778	0.164242	0.010265
0.025	1.100	0.027500	0.020559	0.007575	0.180988	0.011312
0.025	1.200	0.030000	0.021807	0.006506	0.203335	0.012708
0.025	1.300	0.032500	0.026190	0.009022	0.235076	0.014692
0.025	1.400	0.035000	0.042521	0.009056	0.244761	0.015298
0.025	1.500	0.037500	0.029561	0.010658	0.266552	0.016659
0.100	0.025	0.002500	0.010785	0.003035	0.080704	0.005044
0.100	0.100	0.010000	0.007566	0.002631	0.089528	0.005595
0.100	0.200	0.020000	0.014011	0.002762	0.088479	0.005530
0.100	0.300	0.030000	0.016448	0.003933	0.093988	0.005874
0.100	0.400	0.040000	0.020342	0.005036	0.096014	0.006001
0.100	0.500	0.050000	0.025009	0.006274	0.107928	0.006746
0.100	0.600	0.060000	0.029957	0.007547	0.113257	0.007079
0.100	0.700	0.070000	0.037977	0.008738	0.129985	0.008124
0.100	0.800	0.080000	0.039477	0.009897	0.137734	0.008608
0.100	0.900	0.090000	0.044830	0.011396	0.149750	0.009359
0.100	1.000	0.100000	0.050776	0.012543	0.170363	0.010648
0.100	1.100	0.110000	0.054263	0.013642	0.186051	0.011628
0.100	1.200	0.120000	0.059111	0.015040	0.201248	0.012578
0.100	1.300	0.130000	0.065812	0.016231	0.223367	0.013960
0.100	1.400	0.140000	0.068961	0.017261	0.237556	0.014847
0.100	1.500	0.150000	0.074330	0.018843	0.275237	0.017202
0.200	0.025	0.005000	0.019652	0.002770	0.087683	0.005480
0.200	0.100	0.020000	0.012157	0.003440	0.086711	0.005419

0.200	0.200	0.040000	0.019352	0.004945	0.094670	0.005917
0.200	0.300	0.060000	0.029854	0.007475	0.088116	0.005507
0.200	0.400	0.080000	0.039580	0.009954	0.099872	0.006242
0.200	0.500	0.100000	0.049547	0.012531	0.105525	0.006595
0.200	0.600	0.120000	0.060197	0.015005	0.118234	0.007390
0.200	0.700	0.140000	0.069748	0.017484	0.127984	0.007999
0.200	0.800	0.160000	0.080151	0.019912	0.133288	0.008330
0.200	0.900	0.180000	0.089558	0.022501	0.155784	0.009736
0.200	1.000	0.200000	0.099180	0.024903	0.165524	0.010345
0.200	1.100	0.220000	0.109019	0.027331	0.186408	0.011651
0.200	1.200	0.240000	0.119985	0.029889	0.207304	0.012957
0.200	1.300	0.260000	0.130475	0.032533	0.229566	0.014348
0.200	1.400	0.280000	0.139825	0.034927	0.234611	0.014663
0.200	1.500	0.300000	0.149110	0.037267	0.271754	0.016985
0.300	0.025	0.007500	0.009092	0.004576	0.092830	0.005802
0.300	0.100	0.030000	0.018198	0.004399	0.093277	0.005830
0.300	0.200	0.060000	0.029733	0.007500	0.089997	0.005625
0.300	0.300	0.090000	0.044908	0.011245	0.098715	0.006170
0.300	0.400	0.120000	0.059602	0.014962	0.103446	0.006465
0.300	0.500	0.150000	0.075136	0.018728	0.111372	0.006961
0.300	0.600	0.180000	0.089469	0.022453	0.120334	0.007521
0.300	0.700	0.210000	0.105335	0.026186	0.128136	0.008009
0.300	0.800	0.240000	0.120135	0.029972	0.149341	0.009334
0.300	0.900	0.270000	0.134670	0.033712	0.161129	0.010071
0.300	1.000	0.300000	0.148945	0.037513	0.174827	0.010927
0.300	1.100	0.330000	0.164555	0.041270	0.188411	0.011776
0.300	1.200	0.360000	0.179975	0.044959	0.214560	0.013410
0.300	1.300	0.390000	0.193065	0.048567	0.230243	0.014390
0.300	1.400	0.420000	0.209355	0.052522	0.275989	0.017249
0.300	1.500	0.450000	0.224395	0.056262	0.282234	0.017640
0.400	0.025	0.010000	0.008845	0.003847	0.094453	0.005903
0.400	0.100	0.040000	0.020405	0.005490	0.094791	0.005924
0.400	0.200	0.080000	0.039660	0.010065	0.097961	0.006123
0.400	0.300	0.120000	0.059812	0.014984	0.107400	0.006713
0.400	0.400	0.160000	0.079849	0.019910	0.109741	0.006859
0.400	0.500	0.200000	0.099825	0.024917	0.120247	0.007515
0.400	0.600	0.240000	0.119835	0.029942	0.124103	0.007756
0.400	0.700	0.280000	0.139460	0.034952	0.133366	0.008335
0.400	0.800	0.320000	0.159445	0.039696	0.149742	0.009359
0.400	0.900	0.360000	0.179220	0.044888	0.165337	0.010334
0.400	1.000	0.400000	0.199995	0.049937	0.183187	0.011449
0.400	1.100	0.440000	0.219700	0.054929	0.207936	0.012996
0.400	1.200	0.480000	0.239595	0.059991	0.218453	0.013653
0.400	1.300	0.520000	0.258805	0.065034	0.243631	0.015227
0.400	1.400	0.560000	0.279545	0.069633	0.253408	0.015838
0.400	1.500	0.600000	0.298950	0.075182	0.272164	0.017010

0.500	0.025	0.012500	0.009991	0.005696	0.105814	0.006613
0.500	0.100	0.050000	0.024990	0.006408	0.106960	0.006685
0.500	0.200	0.100000	0.049745	0.012496	0.104833	0.006552
0.500	0.300	0.150000	0.074959	0.018720	0.111830	0.006989
0.500	0.400	0.200000	0.100010	0.024917	0.125329	0.007833
0.500	0.500	0.250000	0.124895	0.031181	0.119973	0.007498
0.500	0.600	0.300000	0.149305	0.037414	0.136557	0.008535
0.500	0.700	0.350000	0.174615	0.043604	0.141310	0.008832
0.500	0.800	0.400000	0.199300	0.049892	0.160782	0.010049
0.500	0.900	0.450000	0.224655	0.056224	0.170628	0.010664
0.500	1.000	0.500000	0.249770	0.062481	0.183827	0.011489
0.500	1.100	0.550000	0.273820	0.068746	0.208776	0.013048
0.500	1.200	0.600000	0.300245	0.074848	0.224325	0.014020
0.500	1.300	0.650000	0.323680	0.081021	0.245160	0.015323
0.500	1.400	0.700000	0.348795	0.087452	0.268922	0.016808
0.500	1.500	0.750000	0.373740	0.093426	0.291758	0.018235
0.600	0.025	0.015000	0.017056	0.005759	0.115271	0.007204
0.600	0.100	0.060000	0.030214	0.007571	0.118779	0.007424
0.600	0.200	0.120000	0.060281	0.015040	0.117947	0.007372
0.600	0.300	0.180000	0.089603	0.022408	0.121841	0.007615
0.600	0.400	0.240000	0.120115	0.029971	0.126616	0.007913
0.600	0.500	0.300000	0.149930	0.037455	0.140467	0.008779
0.600	0.600	0.360000	0.179985	0.044913	0.152677	0.009542
0.600	0.700	0.420000	0.209635	0.052509	0.155923	0.009745
0.600	0.800	0.480000	0.239680	0.060009	0.167385	0.010462
0.600	0.900	0.540000	0.269775	0.067366	0.185462	0.011591
0.600	1.000	0.600000	0.298885	0.074853	0.192701	0.012044
0.600	1.100	0.660000	0.329535	0.082370	0.206679	0.012917
0.600	1.200	0.720000	0.360810	0.089780	0.227748	0.014234
0.600	1.300	0.780000	0.389515	0.097520	0.245937	0.015371
0.600	1.400	0.840000	0.419585	0.104836	0.275723	0.017233
0.600	1.500	0.900000	0.448220	0.112195	0.304347	0.019022
0.700	0.025	0.017500	0.013251	0.004516	0.125505	0.007844
0.700	0.100	0.070000	0.034870	0.008756	0.122969	0.007686
0.700	0.200	0.140000	0.069762	0.017432	0.125473	0.007842
0.700	0.300	0.210000	0.104700	0.026230	0.134688	0.008418
0.700	0.400	0.280000	0.139640	0.034894	0.136897	0.008556
0.700	0.500	0.350000	0.174500	0.043612	0.142781	0.008924
0.700	0.600	0.420000	0.209950	0.052339	0.149804	0.009363
0.700	0.700	0.490000	0.244035	0.061166	0.159234	0.009952
0.700	0.800	0.560000	0.279155	0.069880	0.173878	0.010867
0.700	0.900	0.630000	0.314900	0.078592	0.189826	0.011864
0.700	1.000	0.700000	0.349425	0.087408	0.206034	0.012877
0.700	1.100	0.770000	0.384410	0.096130	0.221377	0.013836
0.700	1.200	0.840000	0.418380	0.104793	0.247881	0.015493
0.700	1.300	0.910000	0.454000	0.113470	0.270799	0.016925

0.700	1.400	0.980000	0.487795	0.122148	0.293598	0.018350
0.700	1.500	1.050000	0.522955	0.130925	0.324402	0.020275
0.800	0.025	0.020000	0.011025	0.005430	0.128745	0.008047
0.800	0.100	0.080000	0.039586	0.010026	0.139101	0.008694
0.800	0.200	0.160000	0.080027	0.019899	0.137058	0.008566
0.800	0.300	0.240000	0.119645	0.030001	0.144820	0.009051
0.800	0.400	0.320000	0.159750	0.039895	0.160473	0.010030
0.800	0.500	0.400000	0.200065	0.049928	0.159764	0.009985
0.800	0.600	0.480000	0.239315	0.060032	0.161708	0.010107
0.800	0.700	0.560000	0.278895	0.069870	0.175435	0.010965
0.800	0.800	0.640000	0.320105	0.079934	0.185646	0.011603
0.800	0.900	0.720000	0.359535	0.089829	0.200298	0.012519
0.800	1.000	0.800000	0.399175	0.099864	0.219702	0.013731
0.800	1.100	0.880000	0.438595	0.109620	0.232896	0.014556
0.800	1.200	0.960000	0.478420	0.119533	0.253976	0.015873
0.800	1.300	1.040000	0.519365	0.129585	0.268286	0.016768
0.800	1.400	1.120000	0.558445	0.139723	0.293237	0.018327
0.800	1.500	1.200000	0.600715	0.149845	0.314867	0.019679
0.900	0.025	0.022500	0.024578	0.007188	0.148501	0.009281
0.900	0.100	0.090000	0.045148	0.011924	0.152126	0.009508
0.900	0.200	0.180000	0.089972	0.022458	0.158010	0.009876
0.900	0.300	0.270000	0.134785	0.033834	0.166346	0.010397
0.900	0.400	0.360000	0.179830	0.044816	0.162256	0.010141
0.900	0.500	0.450000	0.224680	0.056205	0.175631	0.010977
0.900	0.600	0.540000	0.269300	0.067333	0.176098	0.011006
0.900	0.700	0.630000	0.315025	0.078549	0.186659	0.011666
0.900	0.800	0.720000	0.358120	0.089883	0.193603	0.012100
0.900	0.900	0.810000	0.404845	0.101010	0.219158	0.013697
0.900	1.000	0.900000	0.448950	0.112258	0.225163	0.014073
0.900	1.100	0.990000	0.494730	0.123665	0.249903	0.015619
0.900	1.200	1.080000	0.538325	0.134750	0.267720	0.016733
0.900	1.300	1.170000	0.584405	0.145958	0.288047	0.018003
0.900	1.400	1.260000	0.626595	0.157265	0.340426	0.021277
0.900	1.500	1.350000	0.675415	0.168225	0.346795	0.021675
1.000	0.025	0.025000	0.023897	0.007998	0.152108	0.009507
1.000	0.100	0.100000	0.050196	0.012490	0.168499	0.010531
1.000	0.200	0.200000	0.099490	0.025004	0.160264	0.010017
1.000	0.300	0.300000	0.149375	0.037401	0.168995	0.010562
1.000	0.400	0.400000	0.199990	0.049878	0.180294	0.011268
1.000	0.500	0.500000	0.250320	0.062494	0.185747	0.011609
1.000	0.600	0.600000	0.298980	0.074894	0.194649	0.012166
1.000	0.700	0.700000	0.349590	0.087321	0.210464	0.013154
1.000	0.800	0.800000	0.399770	0.099704	0.230739	0.014421
1.000	0.900	0.900000	0.448770	0.112480	0.228685	0.014293
1.000	1.000	1.000000	0.498960	0.124595	0.246552	0.015409
1.000	1.100	1.100000	0.548745	0.137100	0.265146	0.016572

1.000	1.200	1.200000	0.599965	0.149873	0.282315	0.017645
1.000	1.300	1.300000	0.649240	0.162108	0.307614	0.019226
1.000	1.400	1.400000	0.697820	0.174900	0.349659	0.021854
1.000	1.500	1.500000	0.746310	0.186905	0.353323	0.022083
1.100	0.025	0.027500	0.024136	0.005369	0.178371	0.011148
1.100	0.100	0.110000	0.055179	0.013776	0.191380	0.011961
1.100	0.200	0.220000	0.109395	0.027366	0.192349	0.012022
1.100	0.300	0.330000	0.164825	0.041141	0.196618	0.012289
1.100	0.400	0.440000	0.219230	0.054984	0.198553	0.012410
1.100	0.500	0.550000	0.274090	0.068694	0.210488	0.013156
1.100	0.600	0.660000	0.330035	0.082335	0.209178	0.013074
1.100	0.700	0.770000	0.384325	0.096220	0.220127	0.013758
1.100	0.800	0.880000	0.438845	0.109810	0.250410	0.015651
1.100	0.900	0.990000	0.494775	0.123845	0.248738	0.015546
1.100	1.000	1.100000	0.548750	0.137093	0.255129	0.015946
1.100	1.100	1.210000	0.604215	0.150790	0.289197	0.018075
1.100	1.200	1.320000	0.658025	0.164860	0.294715	0.018420
1.100	1.300	1.430000	0.711910	0.178645	0.350184	0.021886
1.100	1.400	1.540000	0.766955	0.192480	0.342073	0.021380
1.100	1.500	1.650000	0.824290	0.205803	0.374405	0.023400
1.200	0.025	0.030000	0.017594	0.008230	0.202317	0.012645
1.200	0.100	0.120000	0.059933	0.014912	0.203855	0.012741
1.200	0.200	0.240000	0.119665	0.029898	0.210030	0.013127
1.200	0.300	0.360000	0.179610	0.045088	0.211189	0.013199
1.200	0.400	0.480000	0.240205	0.059924	0.209230	0.013077
1.200	0.500	0.600000	0.300415	0.075030	0.236585	0.014787
1.200	0.600	0.720000	0.360545	0.089762	0.234621	0.014664
1.200	0.700	0.840000	0.418340	0.104807	0.246714	0.015420
1.200	0.800	0.960000	0.479165	0.119498	0.261915	0.016370
1.200	0.900	1.080000	0.539735	0.134795	0.275457	0.017216
1.200	1.000	1.200000	0.598435	0.149845	0.286982	0.017936
1.200	1.100	1.320000	0.658915	0.164848	0.295294	0.018456
1.200	1.200	1.440000	0.716760	0.179735	0.358945	0.022434
1.200	1.300	1.560000	0.777105	0.194590	0.341118	0.021320
1.200	1.400	1.680000	0.839515	0.209745	0.365606	0.022850
1.200	1.500	1.800000	0.898185	0.224783	0.404047	0.025253
1.300	0.025	0.032500	0.022485	0.007113	0.214625	0.013414
1.300	0.100	0.130000	0.065427	0.016241	0.223852	0.013991
1.300	0.200	0.260000	0.130060	0.032445	0.222973	0.013936
1.300	0.300	0.390000	0.193195	0.048454	0.220790	0.013799
1.300	0.400	0.520000	0.259155	0.064857	0.234556	0.014660
1.300	0.500	0.650000	0.323505	0.081141	0.249760	0.015610
1.300	0.600	0.780000	0.388155	0.097521	0.249983	0.015624
1.300	0.700	0.910000	0.453825	0.113325	0.261926	0.016370
1.300	0.800	1.040000	0.519225	0.129708	0.267072	0.016692
1.300	0.900	1.170000	0.584500	0.146013	0.297839	0.018615

1.300	1.000	1.300000	0.648370	0.162133	0.307555	0.019222
1.300	1.100	1.430000	0.711130	0.178270	0.320862	0.020054
1.300	1.200	1.560000	0.778535	0.194568	0.325117	0.020320
1.300	1.300	1.690000	0.844520	0.210733	0.356190	0.022262
1.300	1.400	1.820000	0.911645	0.227113	0.348718	0.021795
1.300	1.500	1.950000	0.971840	0.243920	0.397068	0.024817
1.400	0.025	0.035000	0.018929	0.008145	0.229847	0.014365
1.400	0.100	0.140000	0.069638	0.017353	0.243292	0.015206
1.400	0.200	0.280000	0.139335	0.034610	0.236676	0.014792
1.400	0.300	0.420000	0.209575	0.052470	0.258227	0.016139
1.400	0.400	0.560000	0.277985	0.069700	0.255527	0.015970
1.400	0.500	0.700000	0.349710	0.087136	0.271365	0.016960
1.400	0.600	0.840000	0.420095	0.105153	0.283233	0.017702
1.400	0.700	0.980000	0.488900	0.122183	0.292447	0.018278
1.400	0.800	1.120000	0.557855	0.139603	0.278334	0.017396
1.400	0.900	1.260000	0.627970	0.157170	0.320737	0.020046
1.400	1.000	1.400000	0.697790	0.174518	0.343654	0.021478
1.400	1.100	1.540000	0.766725	0.192165	0.348564	0.021785
1.400	1.200	1.680000	0.837615	0.209688	0.361205	0.022575
1.400	1.300	1.820000	0.907725	0.227395	0.379160	0.023698
1.400	1.400	1.960000	0.982090	0.244233	0.398359	0.024897
1.400	1.500	2.100000	1.047600	0.261890	0.414654	0.025916
1.500	0.025	0.037500	0.040737	0.012035	0.257181	0.016074
1.500	0.100	0.150000	0.075381	0.018640	0.288820	0.018051
1.500	0.200	0.300000	0.150045	0.037402	0.284530	0.017783
1.500	0.300	0.450000	0.224345	0.055859	0.280946	0.017559
1.500	0.400	0.600000	0.299010	0.074929	0.274698	0.017169
1.500	0.500	0.750000	0.375465	0.093725	0.304200	0.019013
1.500	0.600	0.900000	0.449120	0.111990	0.314545	0.019659
1.500	0.700	1.050000	0.523690	0.130993	0.322704	0.020169
1.500	0.800	1.200000	0.599680	0.149653	0.315960	0.019748
1.500	0.900	1.350000	0.675150	0.168188	0.339714	0.021232
1.500	1.000	1.500000	0.746565	0.186648	0.337491	0.021093
1.500	1.100	1.650000	0.823285	0.205920	0.365489	0.022843
1.500	1.200	1.800000	0.897185	0.224360	0.392344	0.024521
1.500	1.300	1.950000	0.971305	0.243625	0.413372	0.025836
1.500	1.400	2.100000	1.047650	0.261960	0.419161	0.026198
1.500	1.500	2.250000	1.124800	0.280175	0.453122	0.028320

Prof. Klaus Schmitz

Next: References

Summary: Index