Questo studio si proponeva di verificare come due approcci alla valutazione di opzioni finanziarie sostanzialmente diversi possano contribuire a spiegare gli errori compiuti dal classico modello sviluppato da Black e Scholes, considerato in questo lavoro il punto di riferimento al fine di commentare i risultati ottenuti.
Nel primo modello sviluppato si è rilassata l’ipotesi che l’attività sottostante l’opzione segua un andamento diffusivo del tipo moto browniano geometrico in favore di un modello a volatilità stocastica che considera il sottostante governato da un modello a cambiamento di regime. In questo modo si ipotizza che la varianza possa assumere solamente due valori a seconda che il mercato attraversi un periodo di alta volatilità oppure di volatilità normale. I risultati ottenuti mediante tale approccio si sono rivelati soddisfacenti solo in parte.
La struttura della volatilità implicita generata dal modello a volatilità stocastica, infatti, non riesce a replicare completamente lo “smile” osservato empiricamente, tendendo, inoltre, a sottostimare i valori di mercato delle opzioni. Le motivazioni di tale comportamento possono essere:
• l’errore compiuto dal modello B-S può essere dovuto alla contemporanea violazione di più di una ipotesi del modello, quali la presenza di frizioni nel mercato oppure la variabilità del tasso d’interesse durante la vita dell’opzione;
• un errore nella scelta del processo generatore: il modello sviluppato non considera, infatti, la possibilità di una relazione tra il processo stocastico che descrive volatilità e sottostante.L’introduzione di tale ipotesi può, come si è visto, spiegare il comportamento osservato empiricamente;
• l’ipotesi di operare in un ambiente neutrale al rischio porta a non considerare il premio eventualmente richiesto dagli operatori per il rischio legato ai cambiamenti della volatilità. Questo si traduce in un valore dell’opzione inferiore a quello di mercato.
Nel secondo modello sviluppato utilizziamo un metodo non parametrico (reti neurali artificiali) che non è legato a nessuna ipotesi circa il comportamento dell’attività sottostante. I risultati si possono considerare soddisfacenti. In particolare sottolineiamo come:
• nonostante siano stati utilizzati gli stessi input, e si sia utilizzata una volatilità implicita teoricamente “favorevole” a B-S, i risultati sono migliori per tutte le categorie di opzioni analizzate;
• la rete neurale si sia rivelata in grado di catturare le caratteristiche principali del fenomeno analizzato, generando una struttura della volatilità implicita molto vicina a quella osservata empiricamente.
Ricordando come sia difficile proporre un confronto tra i due modelli sviluppati in questo lavoro, e come i risultati ottenuti possano essere influenzati dal tipo di dati utilizzati e dalle caratteristiche del mercato in cui si opera, si conclude con le seguenti osservazioni, che possono essere viste anche come spunto per eventuali lavori futuri sull’argomento:
• l’approccio parametrico, soprattutto in relazione alla interpretabilità dei risultati ottenuti, si è rivelato particolarmente interessante; risultati migliori si possono ottenere considerando una opportuna relazione tra i processi stocastici che descrivono l’andamento dell’attività sottostante l’opzione e la volatilità, oppure cercando di modificare il modello ai fini di determinare un adeguato premio per il rischio legato alla volatilità;
• l’approccio non parametrico porta ad ottimi risultati. Tuttavia, essendo le reti neurali delle “scatole nere” non è chiara la relazione che lega ciascuna variabile esplicativa al valore dell’opzione e, di conseguenza, la sua significatività ai fini della valutazione; la scelta di input aggiuntivi, oppure diversi, da quelli utilizzati in questo lavoro può apportare dei miglioramenti alle prestazioni. Particolarmente promettente sembra poi il così detto “approccio ibrido”, in cui la rete neurale è chiamata ad apprendere solamente le deviazioni dei prezzi di mercato rispetto ad un modello parametrico che si è dimostrato sufficientemente accurato per le opzioni considerate (quale, ad esempio, il modello B-S).
M.Billio, M. Corazza, M. Gobbo
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