Le opzioni finanziarie sono strumenti finanziari derivati che hanno conosciuto, negli ultimi decenni, una rapida diffusione e vengono utilizzate prevalentemente a fini di copertura rispetto varie forme di rischio ed a fini speculativi. È innegabile, tuttavia, che parte dell’iniziale successo e della successiva diffusione di tali strumenti sia legato alla presenza di un modello di valutazione molto semplice ed efficiente, quale la nota formula di valutazione in forma chiusa sviluppata da Black e Scholes¹ nel 1973, formula estesa in varie direzioni da Merton nello stesso anno.

La formula derivata dagli Autori si basa su numerose ipotesi che, nella realtà, raramente sono soddisfatte. In particolare numerosi studi empirici hanno evidenziato come la distribuzione dei rendimenti logaritmici di numerose serie finanziarie si discosti significativamente dalla distribuzione normale ipotizzata da Black e Scholes, presentando caratteristiche di leptocurtosi (le “code” della distribuzione sono spesse) e di asimmetria. In secondo luogo, il mercato in cui si opera è caratterizzato da attriti quali i costi di transazione oppure l’impossibilità di operare allo scoperto. Inoltre, le contrattazioni non avvengono con continuità.

La violazione di tutte, o alcune, le ipotesi alla base del modello di B-S porta, inevitabilmente, quest’ultimo a commettere sistematici errori se confrontato ai prezzi di mercato. La maggior parte degli studi empirici effettuati al fine di verificare la bontà della formula di B-S concorda nell’individuare prevalentemente due tipi di struttura dell’errore, rispettivamente con riferimento al tempo mancante a scadenza ed al prezzo d’esercizio (o, più precisamente, al rapporto tra valore dell’attività sottostante e prezzo d’esercizio). In quest’ultimo caso, in particolare, se si rappresentano su di un diagramma le volatilità implicite della formula di B-S, utilizzando i valori di mercato delle opzioni, si ottengono quelli che sono noti in letteratura come effetti “smile”.

Nonostante gli errori commessi, la formula B-S risulta utilizzata in pratica in virtù della sua semplicità: è necessaria, infatti, la stima di un solo parametro ignoto che rappresenta la volatilità osservabile empiricamente sul mercato. Si deve sottolineare, inoltre, come gli operatori tendano a “correggere” i valori ottenuti con il modello B-S calibrando i prezzi delle opzioni, con riferimento al tempo mancante a scadenza ed al prezzo d’esercizio, al fine di replicare l’effetto “smile” osservato empiricamente. Si può quindi osservare come gli operatori, nell’utilizzare la formula B-S con queste modifiche per la volatilità, stiano in realtà approssimando un più complesso modello per la valutazione di opzioni a volatilità stocastica ipotizzando, di fatto, che l’attività sottostante l’opzione sia caratterizzata da un processo stocastico diverso dal moto browniano geometrico assunto da B-S.

Il problema è, ovviamente, individuare il modello, e quindi il processo stocastico, che riesce a catturare meglio le caratteristiche dei prezzi di mercato. Il primo approccio analizzato in questo lavoro ipotizza che i rendimenti dell’attività sottostante l’opzione siano caratterizzati da un modello switching regime, individuando, quindi, un particolare modello di valutazione a volatilità stocastica. La bontà dei risultati ottenuti per tali modelli è ovviamente legata all’abilità di catturare le caratteristiche fondamentali dei dati di mercato.

Si deve sottolineare, tuttavia, come sia più realistico pensare che l’errore compiuto dal modello di B-S sia legato alla contemporanea violazione di più ipotesi. In molti casi, quindi, risulta preferibile un approccio alla valutazione che riduca al minimo le ipotesi di partenza e che, in particolare, non sia vincolato da particolari assunzioni “a priori” circa il comportamento dell’attività sottostante. Il secondo approccio analizzato nella valutazione di opzioni finanziarie considera, quindi, un particolare modello non parametrico, le Reti Neurali Artificiali.

Nonostante i modelli sviluppati possano essere migliorati in più direzioni, i risultati ottenuti evidenziano come entrambi gli approcci portino a dei miglioramenti rispetto al modello di Black e Scholes, che si assume come punto di riferimento. In particolare, mentre i modelli switching regime riescono a spiegare, pur con qualche importante limite, l’effetto “smile” osservato empiricamente, con le reti neurali artificiali invece si ottengono prestazioni decisamente migliori del modello di B-S. Questo risultato è indice del fatto che, in molti casi, l’applicazione di una particolare distribuzione, quale quella ipotizzata dai modelli switching regime, può risultare troppo restrittiva quando il modello viene applicato a dati di mercato. Le opzioni oggetto di analisi sono le opzioni call di tipo europeo sull’indice azionario inglese FTSE-100.

¹ In seguito abbrevieremo il nome dei due autori con B-S.

M.Billio, M. Corazza, M. Gobbo

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