Una volta determinati i parametri che caratterizzano la distribuzione dell’attività sottostante l’opzione, non resta che individuare un metodo che ci permetta di valutare le opzioni stesse. Tale operazione viene effettuata utilizzando un modello di tipo discreto, sulla base del modello binomiale sviluppato originariamente da Cox, Ross e Rubinstein, opportunamente modificato. L’ipotesi fondamentale alla base del modello CRR è che il prezzo del bene sottostante l’opzione segua un processo binomiale di tipo moltiplicativo, definito su intervalli discreti. Se indichiamo con S il prezzo corrente, alla fine del periodo possiamo ottenere i seguenti valori:
dove u e d sono i due coefficienti moltiplicativi, mentre p e (1-p) sono le rispettive probabilità. Gli Autori ricavano poi il valore dell’opzione al tempo iniziale in tre passi:
1. dato il valore iniziale del bene sottostante, vengono generati, sulla base dei parametri u, d ed p, un certo numero finito di prezzi finali;
2. sulla base dei prezzi al tempo finale, vengono calcolati i payoff delle opzioni;
3. i payoff vengono scontati al tempo iniziale percorrendo a ritroso l’albero precedentemente generato.
Gli stessi Autori, ponendo opportune condizioni sui parametri, dimostrano come il processo binomiale approssimi il processo continuo che B-S ipotizzano per derivare la loro formula per la valutazione delle opzioni. Nello sviluppare il modello di valutazione discreto nell’ipotesi che il bene sottostante sia governato da un modello a cambiamento di regime dovremo considerare necessariamente che:
• i rendimenti, a scadenza, non si distribuiscono più normalmente con media e varianza costanti, ma, nel caso considerato, come una mistura di distribuzioni normali,
• nel percorrere l’albero a ritroso si devono considerare le probabilità del passaggio da un regime all’altro, raccolte nella matrice di transizione P.
Prima di spiegare gli aggiustamenti apportati al fine di tenere conto di queste considerazioni, è necessaria una precisazione. Come abbiamo detto precedentemente, i modelli switching regime introducono un ulteriore elemento di incertezza: oltre al prezzo del bene sottostante l’opzione, si deve considerare l’incapacità di riconoscere con certezza il regime che governa la distribuzione attuale e futura dei rendimenti, e, quindi, la possibilità del passaggio da un regime all’altro. In questo caso non è più possibile costruire il portafoglio non rischioso 1 e le semplificazioni introdotte ipotizzando di operare in un ambiente neutrale al rischio non sono più giustificate.
In particolare, non riuscendo a replicare esattamente il payoff dell’opzione a scadenza, una diversa ipotesi sull’atteggiamento verso il rischio degli investitori porta a prezzi dell’opzione diversi. In questo lavoro ipotizziamo di valutare le opzioni in un ambiente neutrale al rischio. Nello sviluppo del processo discreto, quindi, la media di ciascun regime viene sostituita con il tasso d’interesse privo di rischio, eventualmente diminuito del tasso di dividendo, e, nello scontare i payoff a scadenza, verrà utilizzato il tasso privo di rischio. Nel seguito parleremo, quindi, di regimi di alta e bassa volatilità.
Ricordiamo, tuttavia, che l’ipotesi di operare in un ambiente neutrale al rischio non è più un’assunzione legata ad una semplificazione dei calcoli, ma diventa una precisa assunzione del modello presentato. Per ottenere la convergenza del processo discreto al processo continuo ipotizzato, mantenendo una buona approssimazione della distribuzione finale, abbiamo sviluppato un albero pentanomiale.
Il valore
al tempo iniziale viene ottenuto scontando i payoff ottenuti
sulla base dei valori di T S così generati percorrendo a ritroso
l’albero precedentemente costruito, come indicato nella
procedura utilizzata da CRR.
Al fine di considerare le possibilità di cambiamento di
regime, in corrispondenza dei nodi precedenti il periodo
finale, vengono calcolati due valori dell’opzione, condizionali
al fatto di trovarsi nel regime di alta o bassa volatilità.
Al tempo t avremo due valori per l’opzione, uno per
ciascuno dei regimi:
Tale procedura è applicata iterativamente fino al tempo iniziale, ottenendo anche in questo caso due valori dell’opzione, condizionali al fatto di trovarsi in un periodo di alta oppure di bassa volatilità. Il valore dell’opzione dipende quindi dalla conoscenza che i soggetti hanno della fase di mercato che si sta attraversando. Una possibile soluzione è utilizzare come pesi le probabilità marginali 2 . Avremo in pratica:
Sottolineiamo, tuttavia, come tale decisione sia arbitraria e possa influire in modo rilevante sul valore finale dell’opzione in quanto i valori condizionali dell’opzione possono essere molto diversi tra loro.
1 Nell’approccio binomiale l’utilizzo della neutralità al rischio è giustificato dalla replicabilità dell’opzione call con un portafoglio formato dall’attività sottostante e dai titoli non rischiosi. In questo caso il portafoglio non rischioso si può costruire solo nel caso in cui esista un’attività perfettamente correlata con la volatilità.
2 Le probabilità marginali indicano la probabilità di trovarsi in un certo regime a prescindere dal regime che caratterizzava il tempo precedente.
M.Billio, M. Corazza, M. Gobbo
Successivo:Risultati ottenuti
Sommario: Indice