Al fine di confrontare i prezzi delle opzioni così ottenuti con i valori di mercato ed i valori ottenuti applicando la formula di B-S, calcoliamo le rispettive volatilità implicite. Presentiamo solo alcuni esempi che riteniamo, tuttavia, sufficientemente rappresentativi dell’insieme delle opzioni valutate. Come si può notare, i risultati ottenuti si possono ritenere soddisfacenti solo in parte, in quanto il modello si rivela in grado di replicare l’effetto “smile” riscontrato empiricamente solo in modo parziale. In particolare si può notare qui di seguito

come il modello tenda ad offrire delle prestazioni migliori rispetto al modello B-S, generando una struttura della volatilità implicita più coerente con quella osservata empiricamente per le opzioni in-the-money (S/X>1) compiendo, invece, errori simili a quelli compiuti dal modello B-S per le altre categorie di opzioni.

Questo comportamento è, tuttavia, una conseguenza delle ipotesi effettuate inizialmente circa il comportamento dei rendimenti. Al fine di considerare una struttura della volatilità implicita quale quella riscontrata empiricamente, infatti, è necessario introdurre un’opportuna relazione tra i processi stocastici che descrivono l’andamento della volatilità e dei rendimenti, rilassando l’ipotesi di probabilità di transizione costanti. Il modello, quindi, non potendo generare una struttura della volatilità implicita inclinata negativamente si deve limitare ad assumere un comportamento coerente con quello di mercato solo con riferimento ad una categoria di opzioni (in-the-money) per poi “adagiarsi” sugli stessi valori generati dal modello B-S. Il seguente grafico

evidenzia un altro aspetto rilevante dei prezzi ottenuti attraverso tale modello: la volatilità implicita del modello tende a sottostimare la volatilità implicita empirica. I valori delle opzioni di mercato tendono, cioè, ad essere superiori ai valori generati dal modello. L’analisi di tale comportamento è particolarmente interessante. Alcuni autori pongono, infatti, il problema della consistenza tra i prezzi delle opzioni e le proprietà della serie storica dell’attività sottostante, con particolare riferimento alle eventuali divergenze tra volatilità storica ed implicita, evidenziando come quest’ultima tenda ad assumere valori sistematicamente maggiori.

Tuttavia dobbiamo ricordare che, nello sviluppare il modello di valutazione, abbiamo introdotto l’ipotesi di operare in un ambiente neutrale al rischio, assumendo che il rischio legato ai cambiamenti di volatilità non sia valutato dal mercato. È tuttavia possibile che i soggetti richiedano un premio aggiuntivo per il maggior rischio sopportato legato ai cambiamenti non prevedibili della volatilità. La presenza di un premio per la volatilità può giustificare, quindi, i valori più bassi generati dal modello a cambiamento di regime rispetto ai valori di mercato.

M.Billio, M. Corazza, M. Gobbo

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