Si consideri un’economia nella quale viene prodotto un unico bene di consumo finale con una tecnologia Cobb-Douglas che impiega capitale fisico ed umano. Come nei modelli di Solow (1956) e Mankiw et al. (1992), ipotizziamo che l’investimento in capitale fisico venga finanziato destinando ad esso in ciascun istante t una frazione esogena e costante (pari ad s ) dell’output totale disponibile al medesimo tempo t . Seguendo i due lavori sopra citati, ipotizziamo inoltre che vi sia piena occupazione e che la popolazione ( L ) cresca ad un tasso (anch’esso esogeno e costante) n . A differenza di quello di Solow (1956), tuttavia, nel nostro modello introduciamo esplicitamente il capitale umano. In particolare, facciamo l’ipotesi che al tempo t ciascun membro della popolazione sia dotato di uno stock di capitale umano pari ad ht .
Ciò implica che lo stock complessivo di capitale umano disponibile nell’economia nel medesimo istante temporale sia pari a ht Lt . Diversamente da Mankiw et al. (1992), dove il capitale umano viene prodotto con la stessa tecnologia di produzione dell’output finale, qui assumiamo invece che una frazione (pari a ut ) del capitale umano complessivamente disponibile al tempo t venga utilizzata nella produzione dell’omogeneo bene di consumo, mentre la frazione ( ut - 1 ) venga impiegata per accumulare e produrre nuovo capitale umano. In altri termini, la nostra ipotesi è che il settore dell’istruzione sia skill-intensive. Da questo punto di vista, il modello che proponiamo differisce anche dall’approccio usato in D. Romer (2001, cap. 3, par. 3.8) e in Jones (1998, cap. 3; 1997b), dove si ammette che l’unico input che entra nella funzione di produzione di capitale umano sia rappresentato dal numero di anni di istruzione che un individuo possiede.
Al contrario, nel nostro modello incorporiamo esplicitamente la stessa funzione di produzione di skills usata da Lucas (1988), cosicché l’allocazione di capitale umano tra produzione del bene finale ed accumulazione di nuovi skills viene determinata endogenamente usando una condizione di arbitraggio (arbitrage condition). Di conseguenza, e collegata alla prima, un’altra importante differenza tra il modello che proponiamo nel seguito e gli approcci di D. Romer (2001, cap. 3) e Jones (1998, cap. 3, 1997b) sopra menzionati è che mentre in questi ultimi il progresso tecnologico è esogeno, nel nostro modello esso risulta endogeno (nel senso che dipende dalla decisione degli agenti in merito all’ammontare di risorse da destinare al settore dell’istruzione), sebbene, come sarà chiaro più avanti, sia completamente insensibile a variazioni di policy.[7] Alla luce di questa rapida descrizione delle caratteristiche principali dell’economia sotto analisi, le equazioni del modello sono le seguenti. La produzione del bene di consumo finale avviene con la seguente tecnologia:
(1)
Nella (1), Yt rappresenta la quantità dell’omogeneo bene di consumo finale complessivamente prodotta al tempo t , mentre Kt e Hyt rappresentano le quantità di fattori produttivi (rispettivamente capitale fisico ed umano) impiegate nel medesimo istante temporale per la produzione dell’output totale. Nella relazione sopra riportata, α è un parametro tecnologico strettamente compreso tra zero ed uno ed è facilmente interpretabile come la quota del reddito nazionale che va a remunerare il capitale fisico, essendo la (1) una tecnologia a rendimenti di scala costanti e prevalendo, nel modello che stiamo considerando, condizioni di concorrenza perfetta in tutti i mercati. Poiché ciascun membro della popolazione ( Lt ) è dotato di uno stock di capitale umano pari a Ht che, a sua volta, può destinare alla produzione del bene di consumo finale (nella proporzione ut ) e di nuovo capitale umano (nella proporzione ut - 1 ), la funzione di produzione aggregata può essere riscritta come:
(2)
Come già accennato, in questa economia la popolazione cresce ad un tasso esogeno pari a n ( Lt = ent ,L0 ≡ 1), essendo n strettamente compreso tra zero e uno. Per quanto concerne, invece, il reddito pro-capite [8] questo sarà definito in ciascun istante di tempo dalla seguente equazione:
(3)
[7] Blackburn et al. (2000) costruiscono un modello con accumulazione tanto di capitale umano che tecnologico nel quale, in equilibrio, le politiche del governo non manifestano alcun effetto persistente sul tasso di crescita aggregato. Nel loro articolo, gli autori citano varie fonti di evidenza empirica che suggeriscono in maniera convincente come nella realtà il tasso di crescita di lungo periodo sia effettivamente insensibile alle government policies. Un altro modello in cui il tasso di crescita di equilibrio è endogeno (nel senso che dipende dalle scelte di agenti ottimizzanti), ma al contempo insensibile alle politiche è notoriamente il modello di Jones (1995).
[8] Siccome assumiamo piena occupazione, il reddito pro-capite coincide con il reddito per lavoratore.
Documento del Prof. Alberto Bucci e del Prof. Daniele Checchi
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