Secondo quanto noto in letteratura, un coupon bond di valore nominale V, che paga periodiche cedole di ammontare C (per residue n volte), può essere visto come un portafoglio di n-1 discount bonds del valore nominale di C, ciascuno dei quali con scadenza pari alla data di pagamento della cedola corrispondente, più un discount bond del valore nominale di C+V, con scadenza pari a quella del coupon bond stesso. Ora, grazie alle stime dei parametri del modello CIR attraverso i tassi euro e swap, e in base alle proprietà della formula (1.1.1) evidenziate alla fine del paragrafo 1.1, possiamo costruire il prezzo equo di un BTP mediante la somma dei “valori attuali equi” delle riscossioni che mancano alla scadenza. Se indichiamo il prezzo equo di cui alla formula (1.1.1) con

e indichiamo col vettore c le riscossioni che mancano alla scadenza e che verranno pagate agli istanti temporali organizzati nel vettore ti, allora il prezzo equo in t di un BTP (coupon bond) può essere così rappresentato:

(1.2.3a)

Una volta determinato il prezzo equo del BTP, avendo a disposizione il prezzo di mercato Xc°(t, T) del medesimo, possiamo impostare una relazione d’uguaglianza che ci porta ad evidenziare il residuo su cui si valuterà il mispricing:

(1.2.3b)

con Φ_t = set di parametri stimati del modello CIR (con c.s.g. e c.s.s.);

ec(t, Φ_t) = residuo, ovvero disallineamento tra il prezzo osservato e il prezzo equo: fissato l’istante temporale di valutazione, tale valore è funzione dei parametri stimati, ovvero è funzione della metodologia di stima usata (c.s.g./c.s.s.).

I dati reali sui BTP che sono stati utilizzati, riguardanti evidentemente lo stesso periodo campionario dei tassi euro e swap, si caratterizzano per 323 osservazioni giornaliere, e ciascuna osservazione giornaliera porta la quotazione tel quel di 8 BTP con maturity da 3 a 10 anni (precisamente: 3, 4, 4.5, 5, 8.5, 9, 9.5 e 10 anni); per ognuna delle otto maturity veniva scelto il BTP che, fra tutti quelli presenti sul mercato e aventi il medesimo tempo a scadenza (ovvero, lo stesso numero di cedole ancora da pagare), era stato caratterizzato dal maggior volume di scambi. I set di dati, con le osservazioni giornaliere sui tassi euro e swap e sui prezzi dei BTP, sono stati gentilmente forniti dal Professor A. Berardi: per questo motivo non si è scelto un periodo campionario più recente.

Con questo criterio di composizione è stato costruito il set di dati, del quale riportiamo una tabella con le statistiche fondamentali:

I risultati riguardanti le stime sui BTP sono analizzati dalla tabella 6 (riportata qui di seguito) mediante l’esposizione delle statistiche fondamentali sui residui percentuali (residuo diviso prezzo di mercato); il fatto di effettuare un’analisi dei residui percentuali è giustificata dal fatto che i residui di titoli con diverse maturity non sono confrontabili tra di loro (e quindi, anche le relative statistiche) in quanto derivanti da prezzi aventi livelli medi diversi (vedi la Mean di tabella 5): infatti, se si osserva si nota come il prezzo medio osservato dei BTP a 3 anni sia decisamente inferiore rispetto al prezzo medio osservato per i BTP a 9 anni, e quindi un residuo di 2 lire sul primo è un errore decisamente superiore al rispetto medesimo residuo di 2 lire sul secondo. Fatta questa considerazione, che garantisce la confrontabilità dei risultati, non resta che rimandare alla tabella 6.

Dal confronto tra il M.A.E. su residui da cross-section giornaliera e il M.A.E. su residui da cross-section settimanale, si può osservare un risultato opposto rispetto a quello ottenuto sui tassi euro e swap: ora sono i residui ottenuti con la c.s.s. ad essere mediamente inferiori ai residui ottenuti con la c.s.g.: evidentemente, la formula (1.2.3a) va a modificare il comportamento dei residui individuato per i tassi euro e swap. L’ultimo aspetto da evidenziare sui dati di cui sopra è che il modello CIR induce la formazione di residui minori sui BTP con maturity fino a 5 anni; nel momento in cui “salta” su maturity superiori (da 8.5 a 10 anni) il M.A.E. aumenta dalle due alle quattro volte: si vedano, come esempio, i grafici 4, 5 e 6.

Questo fenomeno è semplicemente connesso alla struttura del modello CIR: questo modello univariato, infatti, lega la creazione della struttura a termine al tasso spot a brevissima scadenza r (variabile esplicativa), e quindi la sua capacità esplicativa mostra le performances migliori quando è chiamato a fittare su scadenze analoghe, ovvero su scadenze brevi o medie. Quando il modello è chiamato a stimare il segmento a lungo termine della struttura, ovvero quando è chiamato a stimare i prezzi equi di titoli lunga scadenza, mostra dei cedimenti congeniti: non si può “spiegare bene” il segmento a lungo termine quando si hanno a disposizione le sole informazioni di una variabile esplicativa “a brave termine”.

Fulvio Pegoraro

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