Si riportano qui di seguito i risultati delle stime dei parametri e dei residui del modello CIR, e si vedano i grafici 1, 2 e 3 sulla struttura a termine reale e stimata a fine articolo:

Dall’analisi della tabella 4 si osserva come il M.A.E. sui residui da c.s.g. sia inferiore al M.A.E. derivante da c.s.s. (tranne che per gli swap a 7 e 10 anni), ovvero le stime dei tassi con la cross-section giornaliera producono mediamente dei residui minori rispetto alle stime con cross-section settimanale (tranne che sulle maturity lunghe).

Questo risultato è conseguenza del fatto che la c.s.s. produce una stima che non è condotta sulle sole osservazioni del quinto giorno, ma nasce da una “media” delle osservazioni del giorno stesso e dei quattro precedenti; da ciò deriva che vi sia, generalmente, una perdita di precisione rispetto alla stima con la c.s.g.. Tuttavia, vedremo più avanti (per la costruzione dei prezzi equi dei BTP) come la c.s.s. manifesterà la propria importanza e la propria forza: soprattutto, quando sarà necessario affrontare periodi ad elevata volatilità e, in particolare, le maturity più sensibili alla volatilità (quelle a medio-lungo termine).

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1 Con θ* indichiamo il tasso “normale” (medio) di lungo periodo aggiustato per il rischio, a cui tende r, (k + λ) è il coefficiente di mean reversion aggiustato per il rischio; Y(∞) è il rendimento alla scadenza con maturity infinita; µ* è il termine di drift aggiustato per il rischio.

2 Con AC indichiamo l’autocorrelazione (dei residui) del primo ordine (k = 1) calcolata con il seguente stimatore (con µˆ indichiamo la media campionaria sulle n osservazioni di X ):

Si noti cheˆ γ (0) è lo stimatore della varianza. Lo stimatore proposto per ρ(k) (funzione di autocorrelazione globale) è consistente e asintoticamente corretto ed è più efficiente dello stimatore che prevede 1/(n-k) quale denominatore di ˆγ (k)(D. Piccolo (1990), pag. 69).

Fulvio Pegoraro

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