I fenomeni caotici sono tipici di quei sistemi dinamici non lineari che possiedono caratteristiche frattali nello spazio e apparenti aspetti random rispetto al tempo. M. Barnsley (1993) ha sviluppato un sistema (Iterad Function Systems -IFS-)per generare figure frattali. Un sottoinsieme di frattali che possono essere generati con la IFS, è caratterizzato dall'uso di regole deterministiche implementate in un contesto casuale. Un esempio è ciò che lo stesso Barnsley chiama Chaos Game Il risultato del processo deterministico non è ciò che si potrebbe immaginare considerando l'implementazione del caso nel processo stesso.

Una delle forme del Chaos Game è visibile in figura 2.10. Per generarlo si fissano tre punti 1, 2 e 3, corrispondenti ai tre angoli del triangolo. Si fissa una punto x0 qualsiasi interno od esterno al triangolo. Si estrae a caso un numero da uno a tre (quanti sono gli angoli). Quindi si fissa una secondo punto x1 a metà strada tra x0 e l'angolo corrispondente al numero estratto a caso.

Si procede ad una nuova estrazione fissando x2 a metà strada tra x1 e l'angolo estratto. Iterando un numero opportuno di volte il processo, ciò che emerge non è una figura caotica, ma il già ricordato triangolo di Sierpinski. Ciò deriva dal fatto che il triangolo rappresenta il limite cui tende il processo IFS. Tutti i punti sono attratti verso questa figura qualunque sia il punto di partenza. L'informazione che giunge al sistema è un numero estratto a caso tra uno e tre. Quindi non si può sapere in che direzione dovrà essere segnato il successivo punto sino a quando non giungerà una nuova informazione che sarà processata, secondo la regola deterministica interna del gioco, nel momento in cui sarà disponibile. Il risultato è un illimitato numero di possibilità, ma all'interno di una limitata gamma di valori.

La struttura che emerge rappresenta l'attrattore, lo stato di equilibrio del sistema. Si notino, infatti i (pochi) punti che si possono scorgere nelle zona vuote della figura o immediatamente attorno ad essa. Essi rendono l'idea del processo d'avvicinamento alla forma finale dell'attrattore. Si noti che questo attrattore non è casuale, benché vi siano infinite possibilità di soluzioni. Ciascun punto all'interno del triangolo, inoltre, non ha la stessa probabilità di essere colpito. Gli spazi vuoti, infatti, non fanno parte dell'attrattore. Si ricordi quale era la dimensione frattale di questo frattale (1,5849…).

La posizione di ogni punto dipende da quella del punto precedente e dunque la posizione di xn dipende dalla posizione che hanno assunto tutti i punti da x0 a xn-1 nonostante l'informazione usata per generare la figura sia casuale. Vi è dunque una qualche dipendenza tra gli eventi. Il caos a livello locale e il determinismo a livello globale possono dunque coesistere e generare delle strutture stabili. Figure ordinate possono essere generate da una dinamica caotica. Per una descrizione formale delle trasformazioni coinvolte nel Chaos Game, si consideri un sistema di coordinate (x, y) nel piano cartesiano. Si supponga che gli angoli del triangolo siano individuati dalle seguenti coordinate:

P1 = (a1,b1), P2 = (a2,b2), P3 = (a3,b3). (2.9)

La posizione corrente del punto sia zk = (xk, yk) e l'evento casuale sia il numero nε{1,2,3} . Il successivo punto sarà zk+1 = wn(zk) = (xk+1, yk+1), ove

(2.10)

Il gioco segue il seguente algoritmo: si fissi in modo arbitrario z0 nel piano.

Per k = 1,2,3,.. sia zk+1 = wsk (zk) dove zk sia estratto casualmente (con uguale probabilità) dall'insieme {1, 2, 3} e si fissi zk+1 nel piano.

Ad ogni iterazione, sk mantiene traccia delle scelte casuali compiute fino a k. La sequenza s0, s1, s2,...assieme al punto iniziale z0 è la completa descrizione del percorso del gioco.

Figura 2.10 - Il Chaos Game. Il triangolo di Sierpinski emerge dal caos dopo 500 (a), 2.000 (b), 4.000 (c) e 25.000 (d) iterazioni. Il punto x0 è stato anch'esso estratto a caso. Nella prima figura in altro a sinistra, tale punto è visibile ed è indicato dalla freccia.

Giancarlo Fabbro

Successivo: L' Ipotesi dei Mercati Fractali (Fractal Market Hypothesis)

Sommario: Indice