La funzione di Weierstrass

Una varietà di frattali interessanti, sia dal punto di vista teorico che pratico, è quella delle funzioni rappresentabili graficamente. Molti fenomeni mostrano di avere delle caratteristiche frattali quando sono graficamente rappresentabili come funzione del tempo. Esempi si possono sono trovare nelle rilevazioni della pressione atmosferica, nell'andamento del livello dell'acqua contenuta nei bacini idrici, o ancora nei prezzi rilevabili nei mercati dei capitali, in particolare quando sono disponibili lunghe serie di dati nel tempo. La funzione di Weierstrass è un caso di funzione continua e non differenziabile così definita:

La sommatoria infinita consente al grafico della funzione (figura 2.6) di evidenziare la struttura "fine", tipica dei frattali, piuttosto che una forma priva di frastagliature. La figura 2.6 consente di notare come, per quanto piccolo sia l’intervallo temporale considerato [a, b] (asse delle ascisse), la curva continua a mantenere la sua struttura senza dare cenno di tendere ad una forma priva di frastagliature. Per contrasto, si immagini un polinomio di secondo grado

che dà origine ad una parabola. Limitando l'osservazione solo ad un intervallo infinitesimo [x, x+t] con t arbitrariamente piccolo, ciò che osserveremmo sarebbe una retta e non più una parabola cioè la forma complessiva dell'oggetto non sarebbe più riprodotta come in un vero frattale.

Si noti che nella forma ideale della funzione di Weierstrass il tempo scorre in modo continuo. Ovviamente nella costruzione del grafico non è stato possibile realizzare tale idealizzazione, ma si è tenuto conto di incrementi temporale molto piccoli (dell'ordine di 3,22581E-03 per il grafico 1, fino a 3,28947E-06 per il grafico 2). Anche la sommatoria infinita è ovviamente irrealizzabile nella pratica. Si è comunque costatato che per valori di t superiori a 44, f(t) assume valori talmente piccoli (quindi trascurabili) che il calcolatore usato non è in grado di trattare.

Figura 2.6 - Funzione di Weierstrass in quattro diversi intervalli di dimensioni decrescenti. Per quanto piccolo sia l’intervallo, la curva non perde la frastagliatura tipica dei frattali.

Per realizzare i grafici descritti sono stati posti s= 1,3 e λ =1, 5. Si noti che quando s= λ = 1 il risultato è una comune sinusoide.

Frattali casuali (Random Fractal)

Molti degli oggetti frattali che hanno una struttura simmetrica, possono essere generati introducendo un elemento di casualità che ne fa perdere la simmetria. Tale ulteriore elemento non incide, però, sulla struttura "fine" dell'oggetto, ma la stretta autosomiglianza di cui può godere un frattale come la curva di Kock, è sostituita da un'autosomiglianza in senso statistico (o autosomiglianza stocastica). Vengono cioè conservare le caratteristiche e le proprietà della curva intera, ma gli ingrandimenti dei dettagli non riproducono esattamente la figura di partenza e non permettono comunque di capire la scala di riferimento di appartenenza delle varie figure.

Questa precisazione assume una notevole importanza: i frattali generati matematicamente presentano solitamente una vera e propria "autocongruenza", ma ciò non vale per gli oggetti naturali. Solo con questa definizione si può comprendere in che cosa consiste l'autosomiglianza, ad esempio, di una montagna. Se, infatti, si osserva una montagna da lontano ed in seguito un suo picco, una roccia di quel picco, un masso, un sassolino ed un granello di sabbia, ci si accorge che essi si assomigliano notevolmente: se fossero fotografati in modo da eliminare l'idea delle dimensioni, diventerebbe parecchio difficile distinguerli l'uno dall'altro. Questa proprietà è detta invarianza di scala: vale a dire, l'aspetto non varia a scale diverse. Mandelbrot (1983) fornisce una definizione più rigorosa partendo dal concetto di omotetia che egli però modifica.

Un'omotetia è una trasformazione che permette di ingrandire o ridurre una figura lasciandone inalterata la forma. Due figure si dicono omotetiche quando tutti i loro punti lo sono a due a due. Mandelbrot modifica la definizione di omotetia a due livelli. Innanzi tutto, ammette che le due figure conservino la relazione di omotetia anche se subiscono altre trasformazioni del piano che ne lascino inalterata la forma, modificandone al più l'orientamento (tali sono la traslazione, la rotazione ed il ribaltamento). Tale modifica, tuttavia, non ha un consistente impatto concettuale: infatti, si limita a definire omotetiche tutte le figure che, in base alle definizioni classiche, sarebbero considerate solamente simili.

Si tratta, in definitiva, di una semplice questione di terminologia. Ben più importante è invece la seconda modifica al concetto. Egli parla, più precisamente, di omotetia statistica, intendendo che le figure non debbano conservare la stessa forma in senso stretto, bensì debbano essere somiglianti: devono cioè presentare sostanzialmente la stessa forma e le stesse proprietà. Mandelbrot intende con autosomiglianza la proprietà per cui un frattale e certe parti di esso sono legati da omotetia statistica. Le due definizioni fornite si assomigliano: tuttavia, quest'ultima è parecchio importante, in quanto consente di calcolare matematicamente quella che è denominata dimensione frattale.

Un semplice esempio di frattale casuale richiama ancora la curva di Kock (figura 2.7). Ad ogni passo lo spazio interrotto al centro di ciascun segmento, è rimpiazzato con i due lati di un triangolo equilatero senza la base, ma collocandoli - in modo casuale - sopra o sotto il segmento rimosso. Dopo alcune iterazioni si ottiene una curva piuttosto irregolare che ciononostante mantiene alcune delle caratteristiche della versione simmetrica della curva di Kock.

Alcuni degli esempi di frattali visti sopra implicano una sequenza di approssimazioni Ek ottenuta da una modifica del predecessore Ek-1, migliorando, ad ogni iterazione, il dettaglio dell’immagine, approssimando l’insieme limite F. Un frattale casuale che possa definirsi tale, deve rivelare la presenza di elementi di casualità ad ogni livello di scala. Quindi ad ogni passo di costruzione dell'oggetto, deve essere introdotto un elemento di casualità. Proporzionando le dimensioni delle variazioni casuali alla scala di riferimento, si mantiene la caratteristica dell'autosomiglianza stocastica nel senso che porzioni dell'intera immagine mantengono la stessa distribuzione statistica che caratterizza l'intero insieme.

I frattali casuali, a differenza di quelli generati in modo deterministico ("non casuali"), sono quelli che più si avvicinano ai fenomeni osservabili in natura. Un esempio di fenomeno naturale che presenta un comportamento frattale descrivibile con un semplice modello matematico, è il moto browniano (Brownian Motion -BM-) di cui la figura 2.8 mostra il caso bidimensionale. Scoperto da R. Brown nel 1827 osservando la superficie di un contenitore pieno d'acqua, questo tipo di moto è dovuto alle continue collisioni tra particelle di polvere e di fluido che sono in costante agitazione termica. Possiede un andamento fortemente irregolare, con la tipica forma a zigzag; per questa sua caratteristica di tendere ad occupare tutto lo spazio a disposizione (per t -->∞), la sua dimensione frattale (il cui significato sarà chiarito più avanti) è la stessa del volume che lo contiene. Nel caso bidimensionale è uguale a due.

Figura 2.8 - Esempio del percorso di un moto browniano nel piano bidimensionale (x, y) (sinistra) e rispetto al tempo (destra). Il percorso nel piano è generato considerando come coordinate le sommatorie cumulate di due serie di valori casuali normalmente distribuiti con media zero e varianza unitaria. Il grafico di destra è generato ponendo in ordinata solo i valori della coordinata x del grafico di sinistra e il tempo in ascissa.

Falconer (1990) propone la seguente definizione di Brownian Motion.

Si definisce Brownian Motion un processo stocastico X (t), con t ε [0, +∞) tale che:

I. Con probabilità P = 1, X(0) = 0 (il processo, cioè, inizia da un punto che può essere l'origine) X (t) è una funzione continua in t;

II. Per ogni t≥0 e h>0 l'incremento X (t+h)-X(t)e normalmente distribuito con media zero e varianza h, tale che:

(2.3)

III. Se 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤… ≤ t2m, gli incrementi sono indipendenti e stazionari.

Si noti che dalla I e dalla II discende che anche X(t) è normalmente distribuita con media zero e varianza h. Inoltre la distribuzione degli incrementi X(t+h)- X (t) è indipendente in t.

La natura frattale emerge nelle caratteristiche statistiche di ciascuna porzione che, per quanto piccole siano, sono indipendenti in scala. Infatti, sostituendo h con hγ ( γ>0), x con xγ^1/2 e u con uγ^-1/2 nell'integrale, non è alterato il valore della funzione a destra dell'uguale della 2.3. Perciò:

(2.4)

Segue che X(t) e γ^-1/2 X ( γt) hanno la stessa distribuzione. Modificando la scala temporale per un fattore γ e la porzione di piano considerata per un fattore γ^1/2, si genera un processo indistinguibile dall'originale. Perciò il percorso nel piano di un BM è statisticamente autosomigliante in quanto il tracciato di X(t) non si distingue da X(γt) (0 ≤ t < ∞) mentre il grafico di X(t) rispetto al tempo è statisticamente autoaffine (stessa distribuzione).

Giancarlo Fabbro

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