Il frattale è una figura geometrica derivante dal frazionamento e dalla successiva ripetizione, in dimensioni ridotte, di una forma iniziale. Il frazionamento e la ripetizione possono essere fatti infinite volte, cosicché le dimensioni delle singole forme diventano infinitesime, mentre il confine della figura complessiva tende ad assumere una dimensione infinita. Lo sviluppo della geometria dei frattali è stato uno dei progressi più interessanti della matematica nell'ultimo secolo, grazie all'impulso dato dagli studi compiuti da Benoit B. Mandelbrot fin dagli anni '70.

Egli ha combinato il suo punto di vista e le sue osservazioni con quelle di altri matematici, sviluppando una geometria profondamente diversa da quella tradizionale. Con i frattali, i matematici hanno creato un sistema che descrive le forme naturali in termini di poche e semplici regole. La visione del mondo della geometria dei frattali è totalmente diversa da quelle della geometria Euclidea. Questa riduce la natura in oggetti semplici e simmetrici: il punto, la linea ad una dimensione, il piano a due dimensioni ed il solido tridimensionale. In realtà, se osserviamo la natura, vediamo che essa rifiuta la simmetria e che non esistono in natura linee, piani e solidi perfetti così come descritti dalla geometria Euclidea; le montagne non sono coni e le nuvole non sono sfere.

L'inadeguatezza della geometria classica nel descrivere gli oggetti naturali può essere compresa pensando alla seguente proprietà. Per quest'ultima un oggetto diventa sempre più semplice via via che si guarda in modo più approfondito. Un solido tridimensionale diventa un piano bidimensionale, poi una linea fino ad arrivare ad un punto. Un oggetto naturale dimostra invece di avere tanti più dettagli quanto più approfonditamente si guarda. Gli oggetti frattali godono della stessa proprietà: più da vicino sono esaminati, più dettagli possono essere visti. Frattale (Fractal) è un termine coniato dallo stesso Mandelbrot dalla parola latina fractus che significa interrotto o irregolare.

Un frattale è un oggetto di forma estremamente irregolare o estremamente interrotta e frammentata e che rimane tale qualunque sia la scala alla quale lo si esamina. Questa proprietà si chiama autosomiglianza: a qualunque scala si osservi, l'oggetto presenta sempre gli stessi caratteri globali. Ciò significa che le varie parti hanno una qualche relazione con l'intera forma dello stesso. Una sostanziale differenza tra un oggetto geometrico euclideo ed un frattale è il modo in cui si costruisce. Una curva euclidea, infatti, si costruisce in generale su un piano cartesiano, utilizzando una caratteristica funzione.

Una curva è pertanto identificata da un'equazione algebrica del tipo y= f(x).

La costruzione dei frattali, invece, non si basa su di un'equazione, ma su un algoritmo. Ciò significa che si è in presenza di un metodo, non necessariamente numerico, che deve essere utilizzato per disegnare la curva. Inoltre, l'algoritmo non è mai applicato una volta sola: la procedura è iterata (in pratica ripetuta) un numero di volte teoricamente infinito. Ad ogni iterazione, la curva si avvicina sempre più al risultato finale (per approssimazione), e dopo un certo numero di iterazioni l'occhio umano non è più in grado di distinguere le modifiche (oppure l'hardware del computer non è più in grado di consentire ulteriori miglioramenti): pertanto, quando si disegna praticamente un frattale, ci si può fermare dopo un congruo numero di iterazioni.

Giancarlo Fabbro

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