La verifica dell'uguaglianza Φ_t-1 ^m = Φ_t-1 e quindi dell'efficienza del mercato, richiederebbe la definizione precisa della funzione di probabilità congiunta che però non è osservabile. Manca un legame tra la funzione stessa e p_1,t...p_{n, t} cioè come i prezzi di equilibrio al tempo t vengono determinati dalle caratteristiche della distribuzione congiunta dei prezzi per il tempo t, fissata dal mercato.

Alla base del modello random walk (o della passeggiata casuale) vi sono l'ipotesi di indipendenza tra i rendimenti r _j,t definiti come il ln(p_j,t/p_{j, t-1})

e che gli stessi siano identicamente, indipendentemente distribuiti[1]. Formalmente il modello è riassumibile nella funzione:

(1.1)

in base alla quale la funzione di probabilità condizionale e marginale sono identiche perciò indipendenti dal set di informazioni Φ_t-1

In termini di prezzi, ciò equivale a dire che il prezzo di un titolo j al tempo t dato il set di informazioni Φ_t-1 , può essere rappresentato dalla seguente funzione:

(1.2)

in cui rappresenta il valore atteso del prezzo del titolo j al tempo t date le informazioni disponibili al tempo t-1;

u_j,t rappresenta l'errore di predizione dato dalla differenza tra il prezzo effettivo del titolo j al tempo j e quello atteso.

L’equazione 1.2 esprime la misura del prezzo corrente p _j,t come la somma tra il suo valore atteso ed una componente casuale u_j,t che può essere positiva o negativa. Tale componente presenta le seguenti caratteristiche:

a) è distribuita normalmente ed è indipendente con media nulla e varianza σ² finita;

b) è indipendente dal valore atteso del prezzo del titolo, cioè la correlazione tra u_j,t e è nulla.

c) non è prevedibile sulla base di nessuna delle informazione disponibile al tempo t-1; per esempio l'errore di predizione nel determinare il prezzo al tempo t per il titolo j non è correlato con i passati errori di predizione commessi sullo stesso titolo.

Dunque in media il valore atteso sarà uguale a p_{j, t-1} ottenendo la relazione:

(1.3)

La prima equazione spiega che il prezzo del titolo M un periodo avanti è uguale al prezzo corrente più un termine di errore casule che non può essere determinato sulla base delle informazioni disponibili correntemente ovvero, che i rendimenti ln(p_j,t/p_{j, t-1}) sono indipendenti, identicamente distribuiti.

Il modello fu proposto originariamente da Bachelier, un matematico francese, agli inizi del '900[2]. Se i prezzi seguono una passeggiata casuale vi è in sostanza il 50 per cento di probabilità che la variazione del prezzo sia positiva e quindi il 50 per cento di probabilità che sia negativa. Prevedere il sentiero del prezzo è essenzialmente un problema legato al caso e la migliore previsione del prezzo dell'istante successivo non può che essere fatta sulla base del prezzo corrente. Infatti i movimenti dei prezzi non seguono alcun trend o regolarità e quindi i movimenti passati non possono essere usati per previsioni future.

L'equazione 1.3 può essere modificata per tenere conto del fatto che nel tempo l'andamento dei prezzi è crescente. Si può cioè riscrivere la stessa aggiungendo una variabile che descrive la presenza di un trend dovuto solo all'aumento specifico dei prezzi:

(1.4)

dove g _j,t rappresenta il tasso di crescita atteso del prezzo p _j,t del titolo j al tempo t e

u _j,t l'errore di predizione. La variabile g _j,t assumerà generalmente valori positivi ma non si esclude che possano avere anche un segno negativo.

Un'assunzione molto forte di questo modello è che i prezzi osservati in diversi momenti del tempo sono indipendenti tra loro, non correlati[3] ed estratti dalla stessa distribuzione: ciò significa che successivi incrementi di prezzo devono essere probabilisticamente indipendenti. Se i rendimenti seguono una passeggiata casuale allora la media della distribuzione sottostante rimane stabile nel tempo.

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1 In altre formulazioni si usa il rendimento percentuale. L’uso dei rendimenti in termini di differenze logaritmiche dei prezzi è preferito nelle applicazioni pratiche. La differenza dei logaritmi dei prezzi equivale al rendimento percentuale in termini composti:

2 Il modello fu l’argomento della dissertazione della tesi di Louis Bechelier "The Theory of Speculation" del 1900. La sua conclusione fu che "the mathematical expectation of the speculator is zero". Queste sue argomentazioni non saranno prese in considerazione che molti anni più tardi, nel 1964.

3 infatti due variabili possono essere, allo stesso tempo, non correlate e indipendenti ma non viceversa.

Giancarlo Fabbro

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