Il moto Browniano frazionario (Fractional Brownian Motion o Biased Random Walk)
Il moto browniano non si presta bene a descrivere certi fenomeni a causa delle restrizioni d’indipendenza. Quando Hurst mise a punto la sua statistica e la applicò ai dati raccolti dagli egiziani sulle piene del Nilo, scoprì che H era ben al di sopra di ½ cioè di quanto dovrebbe aversi per un processo random walk. Ripetendo l'analisi con altri fenomeni naturali di cui si disponevano dati raccolti in un lungo arco di tempo, scoprì che anche in quei casi H era strettamente maggiore di ½.
Doveva quindi essere in azione un processo la cui evoluzione era dipendente in qualche misura dagli eventi passati. Questi fenomeni naturali seguono un andamento nel tempo che può essere descritto come un processo stocastico distorto noto anche come moto Browniano frazionario -FBM- e in genere implicano la presenza di una dipendenza di lungo periodo nelle osservazioni. Un FBM può presentare degli incrementi normalmente distribuiti, ma non indipendenti (al contrario di un BM puro).
Ricordando Falconer (1990), un processo stocastico X(t), con t ε [0, +∞) è un Fractional Brownian Motion di indice H (0 < H < 1) se:
I. Con probabilità P = 1, X(0) = 0 (il processo cioè inizia da un punto che può essere l'origine) e X(t) è una funzione continua in t;
II. Per ogni t ≥ 0 e h > 0 l'incremento X(t+h) - X(t) è normalmente distribuito con media zero e varianza h2H tale che:
(4.4)
La definizione assume implicitamente che gli incrementi X(t+h) - X(t) sono stazionari, cioè la loro distribuzione di probabilità è indipendente da t. Tuttavia l'indipendenza si ha solo nel caso del BM, cioè per H = ½ (quando la 4.4 equivale alla 2.3).
Dalla II si ha che
per cui vale che:
(4.5)
La 4.5 è diversa da zero per H ≠½. Perciò
è
positivo e negativo rispettivamente per H > ½ e H < ½.
Gli incrementi non saranno quindi indipendenti. Se H > ½, allora X(t)-X(0) e X(t+h) - X(t) tendono ad avere lo stesso segno, ovverosia ; X(t) tende a mantenere un andamento positivo in futuro se questo è stato positivo anche in passato. Viceversa se H < ½, X(t)-X(0) e X(t+h) - X(t) tendono ad avere segni opposti. Questi concetti sono una riformulazione di quelli che stanno alla base della 4.3.
Come nel caso di un BM (per cui H = ½), X(t) e γ-H X(γt) hanno la stessa distribuzione, dato il fattore di scala temporale γ> 0.
La dimensione frattale di un processo (Fractional) Brownian Motion
In relazione ai processi FBM si possono individuare due distinti valori della dimensione frattale a seconda dell'aspetto considerato (Mandelbrot, 1997).
Con riferimento al grafico rispetto al tempo di una variabile X(t) la dimensione frattale della traiettoria è pari a DG = 2 – H. Con riferimento al tracciato nel piano, i cui punti hanno come coordinate le osservazioni di due variabili indipendenti X(t) e Y(t) la dimensione dell'orbita nello spazio è DT = 1/H. (perciò i suffissi G e T).
In particolare ciò e vero quando ½ > H > 1. Quindi per H = ½, DG = 1,5 mentre DT = 2, la dimensione di un piano. Per H strettamente maggiore di ½ il tracciato nel piano di un )%0 tende a non occupare tutto lo spazio a disposizione (per t--> ∞) similmente a quanto accadeva nel caso del triangolo di Sierpinski.
In oltre è provata l'esistenza di un legame tra l'autosomiglianza statistica di un processo FBM e una distribuzione L-stabile. Vale infatti che: H = 1/α per 1 > α> 2, dove α è l'esponente caratteristico di una distribuzione L-stabile. Ciò significa che, benché i due processi siano differenti, dal punto di vista frattale, hanno lo stesso comportamento. La possibilità che possa assumere valori compresi in questo intervallo è alla base dell'ipotesi dei mercati frattali, mentre per l'ipotesi dei mercati efficienti, α è costante e pari a due.
Giancarlo Fabbro
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