L'indice standard & Poor's 500 e il DJIA
L'analisi R/S è stata eseguita inizialmente sui dati delle serie storiche degli indici disponibili. La tabella 5.2 riporta i risultati relativi agli indici S&P 500 e DJIA. In particolare per il primo di tali indici è stata analizzata la serie dei prezzi giornalieri (19.412 osservazioni), mensili (876 osservazioni) e mensili deflazionati, mentre per il DJIA solo la serie dei prezzi giornalieri (19.191 dati).
In tutti e quattro i casi, l'indice di Hurst è strettamente maggiore di ½ e, prevedibilmente, il valore di H per lo S&P 500 e quello del DJIA giornalieri concordano. Ciò può essere visto come un'evidenza di una memoria lunga che continua ad agire per un periodo relativamente prolungato di tempo. Inoltre come anticipato, passando dai dati giornalieri a quelli mensili la misura di H è aumentata. Come si può notare, sono disponibili due esponenti di Hurst nelle corrispondenti righe dei due indici giornalieri. Infatti è possibile individuare due cicli fondamentali: il primo di periodo 58-60 giorni, il secondo di circa 790-890 giorni.
Questo significa che il processo stocastico in azione "perde" la sua memoria, relativamente alla scale temporali di riferimento, entro tale termine, e i rendimenti diventano indipendenti da quelli misurati nella fase del corrispondente ciclo precedente (Corazza, Malliaris, Nardelli; 1997). Considerando che in un mese ci sono in media 22 giorni di contrattazioni, 890 giorni di contrattazione equivalgono a circa 40 mesi, quanto si misura dall’analisi dei dati mensili dello S&P 500. Non è possibile, invece, individuare in questa serie il ciclo di 58 giorni, equivalenti a circa due mesi e mezzo, quindi log(n) < 1.
La serie mensile deflazionata non comporta differenze dal punto di vista del periodo del ciclo espresso in mesi, mentre si rileva un H leggermente inferiore a quello della serie non deflazionata. Il metodo per deflazionare la serie dei prezzi mensili si ricollega alla seguente formula (Peters, 1991a, b):
(5.9)
in cui St è il prezzi deflazionato, pt il prezzo del mese t ed IPCt l'indice del prezzi al consumo per lo stesso mese. Le costanti a e b sono ottenute regredendo linearmente il logaritmo naturale del prezzo pt contro il logaritmo naturale dell'indice dei prezzi al consumo. Per la serie mensile (gennaio 1928 - dicembre 2000) a = 1,59; b = -1,714.
La figura 5.2 mostra il tracciato della serie dei prezzi deflazionati ed è chiaramente visibile un andamento ciclico alquanto regolare dagli anni '50 in poi. Dal 1928 ai primi anni '50, l'andamento del tracciato è chiaramente influenzato dagli avvenimenti che hanno caratterizzato quegli anni: crisi degli anni '30, prima, seconda guerra mondiale, poi.
Figura 5.2 - Indice S&P 500 deflazionato; prezzi mensili deflazionati dal gennaio 1928 al dicembre 2000.
Per saggiare la risposta dell'analisi R/S nelle diverse situazioni che hanno caratterizzato i decenni del secolo scorso agendo in modo diverso nell'evoluzione degli indici, si è diviso il campione S&P 500 in sei intervalli contigui di 3.235 osservazioni. Su ognuno di essi si è quindi proceduto ad eseguire l'analisi. Le conclusioni sono raccolte nella seconda parte della tabella 5.2. Nonostante le diverse vicende economiche dei periodi considerati, H è rimasto stabile variando solo tra 0,593 e 0,622 per il primo ciclo di ampiezza variabili tra 33 e 112 giorni.
Per quanto riguarda il secondo ritorno periodico, la sua individuazione è possibile
solo in tre dei sei intervalli proposti. Mentre gli intervalli dal 14 giugno 1962 al 25 maggio
1975 e dal 26 maggio 1975 al 10 marzo 1988 concordano con quanto rilevato sull'intero
campione, per il primo intervallo (4 gennaio 1928-15 novembre 1938) si misura un valore di
H molto alto, segno di una buona persistenza. Ciò è plausibile se si osserva il tratto
corrispondente in figura 5.2. È possibile notare come l'indice, rapportato al resto del
campione, persista fortemente a decrescere nella prima metà del decennio e al contrario
persista (con una parentesi intermedia) a crescere nel secondo. La durata media di tali
fenomeni è di circa tre anni (890/288).
La media dei cicli più brevi è pari a 57,8 (log(n) 
1.76), quanto si era rilevato nella
serie completa, 58 giorni (1,76).
La stabilità dell'analisi R/S, per lo meno nel rilevare il primo ritorno periodico, contrasta con la variabilità delle informazioni statistiche relative alle differenze logaritmiche dei sei intervalli appena descritti, raccolte nella tabella 5.3. Oltre a confermare che le variazioni percentuali non sono distribuite normalmente e presentano un grado di curstosi molto alto (quello di riferimento è 3), la variabilità (misurata dalla deviazione standard e dall'escursione tra il minimo e il massimo) cambia anche significativamente nei diversi periodi. Da notare sono il primo ed il quinto intervallo. Il primo presenta una media negativa, effetto della grande depressione, il secondo un minimo negativo di 0,23, dato riferibile al crollo borsistico del 1987.
In figura 5.3 sono riportati, come esempio, il grafico dell'analisi R/S per il campione mensile S&P 500. L'andamento del logaritmo di (R/S)n è crescente secondo un coefficiente costante (H) sino al punto di cambio strutturale log(n) = 1,6 momento in cui la pendenza cambia. L'individuazione di tale punto è agevolata dalla variante Vn ottenuta applicando la relazione 4.11, rappresentata nel secondo grafico della figura 5.3. Per testare la correttezza del punto di cambio strutturale si è applicato la statistica Chow per l'ipotesi di costanza dei parametri della regressione. Per il caso descritto dalla figura 5.3 la statistica genera un F = 50,03.
Il valore critico è pari a 1,79 (26 e 400 gradi di libertà) all'un per cento di significatività. Se ve ne era bisogno, il test conferma il cambio strutturale. L'esito delle analisi confermano sostanzialmente i valori pubblicati da Peters in Chaos and Order In the Capital Market (1991). Egli stima per la serie dei prezzi giornalieri dello S&P 500 dal 1928 al 1989 un H = 0,60, mentre riporta di aver stimato un ciclo di circa mille giorni di contrattazioni. Il periodo del ciclo qui stimato è inferiore, ma relativamente vicino a quello di Peters: 890 giorni (log(n) = 2,95).
La stessa analisi, egli l'ha compiuta sul campione di prezzi mensili dal gennaio 1950 al luglio 1988, stimando un H = 0,778 (Errore Std. 0,013; R2 = 0,996) e una ricorrenza ogni 48 mesi. Ripetendo l'analisi sullo stesso campione si è stimato un H = 0,737 (Errore Std. 0,011; R2 = 0,992) e confermato il ritorno periodico a 48 mesi (log(n) = 1,68).
L'ipotesi avanzata inizialmente sulla tendenza di H ad aumentare passando da serie a maggiore frequenza di campionamento a frequenze minori, sembra essere verificata. Infatti è passato da 0,615 dei prezzi giornalieri a 0,711 della serie mensile. Si può già annunciare che lo stesso comportamento si ha anche nel caso degli indici COMIT.
Peters (1991) presenta i risultati di una prova di stabilità sull'indice S&P 500, in base alla quale H rimane stabile attorno a 0,80 in campioni di osservazioni con incrementi da trenta a cento giorni, imputando i risultati sotto stimati di H nei campioni con incrementi temporali di campionamento inferiori a 30 giorni, al rumore nel sistema di formazione dei prezzi. Per verificare se la causa della sotto stima è imputabile, almeno in parte al rumore, si è provato a stimare H per dieci diversi serie di prezzi dello S&P 500 mensili, ottenute considerando le loro medie mobili da dieci a cento mesi in modo da attenuare il probabile disturbo. Se la causa non è imputabile ad esso, la stima dovrebbe rimanere prossima a quella dei dati giornalieri. La tabella 5.4 riepiloga i risultati. Effettivamente H tende a rimanere stabile intorno a 0,70 dopo un iniziale picco a 0,772.
Giancarlo Fabbro
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