William F. Sharpe (1934), Premio Nobel per l’Economia 1981

Il Single Index Model

Il Single Index Model Un importante contributo alla moderna teoria del portafoglio è stato fornito, negli anni sessanta, da William F.

Sharpe con lo sviluppo di un modello di mercato, il “Single Index Model”, basato sull’idea di scomponibilità del rischio in due dimensioni: la prima legata all'andamento generale del mercato (rischio sistematico), l'altra legata alla variabilità del rendimento del singolo titolo (rischio non sistematico).

Verso il rischio non sistematico si interviene diversificando il portafoglio, cioè ricercando titoli con coefficiente di correlazione negativo. Nei confronti del rischio sistematico è necessario, invece fare delle scelte. La variabile considerata da Sharpe per misurare il rischio sistematico è il beta del titolo che coincide con la pendenza della retta di regressione espressa dai rendimenti del titolo e del mercato.

Il modello di Sharpe ipotizza un meccanismo di generazione dei rendimenti che fa riferimento ad un unico fattore comune a tutto il mercato. Il rendimento atteso per il generico titolo è definito dall’equazione:

essendo a sua volta

Nella (1.1) e nella (1.2) si è indicato con Rit il rendimento del titolo i-esimo, con Rmt il rendimento del mercato di borsa, con ai la componente costante del rendimento del titolo iesimo, con ßi il beta del titolo i-esimo e con eit la componente erratica del rendimento di periodo indipendente dall'andamento del mercato.

Nell'ambito del modello di Sharpe il rischio di portafoglio viene definito dalla espressione:

nella quale si assume che tutte le componenti di rischio residuale rispetto al mercato abbiano lo stesso peso. E’ facile constatare che il rischio residuale medio si riduce all'aumentare dei titoli in portafoglio.

La conseguenza più immediata è che per portafogli di grandi dimensioni il rischio non sistematico è nullo, mentre risulta rilevante il rischio sistematico.

Dott. Andrea Castiglione

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