Definizione. Una successione di variabili aleatorie (Xn) n ∈ N costituisce un gioco assolutamente equo quando :
Si noti che, se il gioco è assolutamente equo, risulta anche E(X 1) = ....= E(Xn) = 0 ; Il viceversa però non è vero. In pratica le X n rappresentano le vincite in un gioco: si tratta di v.a. che in generale non sono indipendenti perché i giocatori possono adottare delle strategie basate sull'osservazione dell'andamento delle precedenti mani di gioco. Un gioco è assolutamente equo quando l'osservazione della precedente storia di giuoco non permette di costruire strategie che – in media – rechino vantaggio ad uno dei giocatori.Definizione. Una successione di variabile aleatoria
costituisce una martingala quando
si chiama invece submartingala o supermartingala rispettivamente quando:
Il concetto di martingala è strettamente legato a quello di gioco assolutamente equo. Infatti è facile verificare che la somma delle vincite di un gioco assolutamente equo è una martingala: detto C il capitale iniziale e (Xn) n ∈ N un gioco assolutamente equo, la successione:
costituisce una martingala. Infatti
Si potrebbe mostrare che anche il viceversa è vero: ogni martingala è somma di incrementi che costituiscono un gioco assolutamente equo. Alla base di quanto trattato, si potrebbe concludere, che un martingala che rappresenta un processo stocastico tipico di un mercato finanziario, è caratterizzato da una distribuzione di probabilità munita di un valore atteso nullo.
La definizione chiarisce quanto supposto nel contesto della EMH in riferimento al fatto che l'investitore che àlloca il proprio capitale, sa di conseguire dai suoi investimenti risultati positivi o negativa, i quali in media porteranno ad un esito neutrale ovvero, il rendimento atteso del portafoglio sarà nullo. In realtà potrebbe sembrare pessimistica la teoria del martingala visto che, speranze di rendimenti positivi sarebbero annullati a priori, ma quanto detto risulta assolutamente non corretto.
Illustrazione 3: Riproduzione di lanci di monete non truccate
Il grafico sopra riproduce la registrazione di 10’000 lanci di una moneta regolare. Questi diagrammi, basati sugli originali di W Feller27, mostrano di quanto possono essere superiori od inferiori alla media attesa che è uguale a zero (linea orizzontale), le vincite di chi gioca a testa o croce. Il grafico in alto mostra i primi 500 lanci nei dettagli; i restanti due riferiti ai 10.000 lanci. Si apprende che la posizione, a seconda di dove la si chiude, può essere in perdita, in pari o in guadagno. E’ solo la media di tante prove come questa che tende a zero.
[26] Il materiale riferito alla seguente appendice è stato tratto da D.Applebaum “Lectures on Levy Processes, Stochastic Calculus and Financial Applications”, University of Sheffield September 2005.
[27] W. Feller “An introduction to probability Theory and its applications”, Wiley, New York 1950
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