L'analisi frattale applicata ai mercati finanziari, promossa da Benoit Mandelbrot, ha radici profonde, che risalgono all'epoca duecentesca coincidenti con la diffusione della matematica dei numeri arabi proposta da un matematico pisano di nome Leonardo Fibonacci.

Il collegamento tra la materia frattale che si ritrova nelle immagini naturali governate dalla proprietà di auto-somiglianza, si veda ad esempio il triangolo di Sierpinski, e la serie numerica di Fibonacci sta nel fatto che l'auto-somiglianza frattale è governata da una regola di ripetibilità che caratterizza la successione proposta dal matematico pisano.Il contributo che Leonardo Fibonacci ha fornito alla conoscenza, è stato imponente; si pensi che a trentadue anni, precisamente nel 1202, Fibonacci pubblicò la prima edizione del “Liber Abaci” che rivoluzionò i sistemi di numerazione, nonché costituì le fondamenta per la costruzione della Ragioneria, della quale fecero uso inizialmente i mercanti toscani.

Nel Liber Abaci Fibonacci espone i fondamenti di algebra e matematica usati nei paesi Arabi, un problema fornisce l'occasione per l'introduzione della serie numerica che oggi porta il nome del matematico pisano e che si riscontra in numerosi esempi in natura tra questi, l'approssimazione del Rapporto Aureo. Fibonacci introdusse il sistema decimale e l'uso delle cifre arabe in Europa basandosi sulle nozioni di aritmetica e di algebra che aveva accumulato durante i suoi viaggi. Scrisse di problemi pratici di matematica finanziaria e di agrimensura, di problemi di enigmistica. I suoi indovinelli matematici, che venivano spesso presentati sotto forma di storia, divennero classici già nel XIII secolo.

Un problema esposto nel Liber Abaci riguarda sette vecchie che andavano a Roma, ognuna con sette muli, ogni mulo carico di sette sacchi, ogni sacco contenente sette pani, per ogni pane sette coltelli, ogni coltello in sette foderi. Ci si domanda quanti oggetti sono stati trasportati globalmente e l'autore fornisce la risposta applicando il concetto della "serie geometrica" con valore iniziale 7 e ragione 7, i cui 6 termini devono essere sommati e come totale si ottiene 137.256 oggetti (comprese le 7 vecchie).

Alternativamente a questo esempio, nei primi anni del 1200, nella Repubblica Marinara di Pisa, soggiornò Federico II, il quale interessato alla materia aritmetica, bandì un torneo dove si sarebbero sfidati abachisti ed algoritmisti per dimostrare l'importanza delle tecniche di calcolo arabe grazie alle quali si avrebbe potuto affrontare la materia dei calcoli complessi in maniera più celere che con il tradizionale abaco a disposizione dei partecipanti. Fibonacci risolse il problema con una velocità tale da far persino sospettare che la gara fosse truccata. Il problema posto era il seguente: quante coppie di conigli si ottengono in 12 mesi posto che ogni coppia dia alla luce una nuova coppia ogni mese e che le nuove coppie nate siano in grado di riprodursi già al secondo mese di vita?

La risposta si ricava semplicemente dalla famosa serie di Fibonacci: 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233.. dove ogni nuovo numero rappresenta la somma dei due precedenti. Infatti: alla fine del primo mese ci sarà ancora 1 sola coppia. Alla fine del secondo mese la femmina genera una nuova coppia per cui ora si hanno 2 coppie. Alla fine del terzo mese la femmina iniziale genera una nuova coppia dando luogo a 3 coppie, mentre la femmina nata il mese precedente resterà incinta ma partorirà solo fra un mese. Alla fine del quarto mese la femmina iniziale ha generato una nuova coppia mentre la femmina nata due mesi prima genera la sua prima coppia. Abbiamo così 5 coppie.

Alla fine del quinto mese avremo quindi 3 femmine che generano una nuova coppia portando il totale a 8 coppie e proseguendo il ragionamento le coppie diventano 13, 21, 34, 55 e seguenti. Alla fine del dodicesimo mese si arriva a 233 coppie. La serie numerica di Fibonacci è intesa come una successione di numeri interi positivi che in termini matematici può essere descritta dalle seguenti equazioni di primo grado: N0 = 0 ed N1 = 1 di conseguenza Nk= Nk-1 + Nk-2 con K < 1 Da quelle equazioni si ottiene la sequenza di numeri: Nn = 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,..... Le proprietà delle serie numeriche ricavate dalle precedenti equazioni affermano che:

· rapportando il termine di posto n con quello di posto n-k convergono ad un valore costante della distanza n-k. In particolare, il rapporto tra un elemento della successione ed il precedente tende alla costante 1,6180368 definita con il termine di golden ratio; il rapporto di ogni numero con il numero seguente nella serie genera un quoziente che tende a 0,61803; mentre il rapporto tra ogni numero per il secondo numero che lo segue è uguale a 0,382; · il valore 1,61803 definito come golden ratio moltiplicato per 0,618 è uguale ad 1 lim n→∞ Fn / Fn-1 = Φ dove

2 =1,61803 mentre 1/ Φ= 0,61803;

Illustrazione 41: Golden Ratio di Fibonacci

eccetto il valore 1 ed il valore 2, per ogni numero moltiplicato per 4 e aggiunto a qualsiasi numero della serie, restituirà un numero rientrante nella serie di Fibonacci;

· La somma dei quadrati di due numeri consecutivi della serie, è ancora un numero della serie;

· la differenza dei quadrati di due numeri consecutivi della serie, è ancora un numero della serie;

La serie di Fibonacci viene applicata allo studio previsivo dei dati finanziari, necessaria per individuare segnali buy-sell attraverso l'applicazione dell'analisi tecnica. Nella dottrina dei mercati finanziari sembra ormai chiaro che i prezzi delle attività finanziarie seguano un cammino non preciso e che nel tempo tracciano una tendenza paragonabile a sentieri a zig-zag simili alla funzione matematica di Bolzano. Nel percorrere il loro tracciato ondulato, i prezzi delle attività finanziarie in funzione di un orizzonte temporale prescelto, raggiungono livelli di prezzo, come minimi e massimi assoluti o relativi, che rappresentano punti di partenza per gli analisti tecnici o per consulenti finanziari, dai quali partire per individuare segnali di trading. Il problema del movimento dei prezzi è che, pur essendo orientati a rispettare un trend che ormai perdura da diverse sedute, pensiamo ad un movimento secondario che dura da diversi mesi, i prezzi tendono a sgonfiare l'euforia presente in quel periodo correggendo il loro andamento, in conformità al linguaggio finanziario, tentano un ritracciamento che ha una direzione in controtendenza rispetto a quella principale.

Attraverso particolari analisi condotte da matematici e studiosi dei mercati azionari, le correzioni di prezzo rispettano dei fattori percentuali precisamente definiti che possono essere ricondotti ai valori della serie di Fibonacci impiegate frequentemente per determinare non solo valori come supporti e resistenze intesi come obiettivi di prezzo, bensì per cogliere inversioni nel trend. I numeri della serie di Fibonacci utilizzati per l'individuazione della correzione sono : il 23.6%, il 38.2%, il 50%, il 61.8% ed il 76.4%.

Va da se che non tutte le percentuali di ritracciamento vengono prese in considerazione allo stesso modo, maggiore enfasi viene data alle percentuali pari al 38.2% che potrebbe esser inteso come un livello minimo (massimo) della correzione in un trend consolidatosi al ribasso (rialzo) dal quale si ripartirà per riconfermare il movimento principale ad un'eventuale sua rottura; la percentuale intermedia di correzione del 50% di un dato movimento, ed infine il valore al quale si attribuisce un peso rilevante, pari a 61.8%, il quale verrebbe colto come un segnale di inversione del trend al verificarsi del breakout di tale livello numerico.

Illustrazione 42: Esempi di percentuali di ritracciamenti di Fibonacci

I valori presi in considerazione dall'analista sono da intendere, ripeto, come dei segnali da sfruttare per trarne un beneficio in ottica di entrata o uscita dal mercato, dato che rappresentano delle correzione di prezzo che potrebbero realizzarsi nel breve termine, intesi quindi come fenomeni effimeri. Qualora però, i valori citati in precedenza venissero attraversati dalla linea del prezzo di un titolo, preannuncerebbero un'inversione di tendenza del trend, modificando la direzione precedentemente perseguita dal titolo.

Effettuando con l'analisi tecnica uno studio sul titolo Eni attraverso la tecnica dei ritracciamenti di Fibonacci, si potrebbe affermare che un attraversamento del primo livello percentuale della serie di Fibonacci, pari al 23,6% da parte del titolo Eni nel periodo Luglio/Agosto 2009 avrebbe potuto riconfermare un bearish trend del titolo che durava da circa 12 mesi.

Dunque il livello che figura come un supporto tecnico di medio periodo per l'azione del cane a sei zampe, ha visto la presenza di una respinta verso l'alto, riportando il titolo nell'area di prezzo 17.50-18 € riflesso nuovamente verso il basso dalla prima resistenza tecnica rappresentata, per coincidenza dal livello di Fibonacci di 38.2%. L'altalena del movimento che il titolo petrolifero ha subito in un periodo dove fattori reali hanno frenato la crescita dell' Equity Market, l'apprezzamento del dollaro nei confronti dell'euro ha reso meno volatile il prezzo delle commodities, in primis il petrolio ed i suoi derivati, ha compresso in conclusione il prezzo del titolo Eni in un canale laterale costituito da livelli di supporto-resistenza in area 16–18 € che perdura da ormai un anno, valori rappresentativi dei due livelli della serie di Fibonacci.

Simulando una strategia di investimento di breve periodo grazie non solo all'analisi della serie di Fibonacci, ma anche con l'ausilio dei volumi di negoziazione, si avrebbe potuto acquistare le azioni Eni nell'ultima ottava di maggio dove i volumi di negoziazione crescenti e la configurazione grafica di inversione (morning star formation), avrebbe consentito di inserire in portafoglio azioni sottovalutate, dato che nel medesimo periodo Eni raggiungeva un minimo relativo in area 14,50 – 15 € per liquidarle dopo qualche seduta in coincidenza della mancata perforazione (23,6%) e riduzione dei volumi di negoziazione che preannunciavano una brevissima correzione del trend. Con le medesime percentuali della serie di Fibonacci è possibile analizzare i grafici di borsa anche con la tecnica degli archi di Fibonacci e delle Fan Lines.

Illustrazione 44: Ritracciamenti con la tecnica degli archi di Fibonacci con applicazioni al titolo Unicredit Nel caso dell'azione Unicredit, la sequenza di Fibonacci viene in soccorso

all'analista tecnico interessato a prevedere l'evoluzione del prezzo considerando una misura ad arco. Se si prendesse in considerazione nel diagramma di prezzo a candele giapponesi, il periodo fine aprile inizi maggio 2010, le misure ad arco preannuncerebbero una inversione di tendenza del titolo dovuto ad alcuni fattori tecnici di facile individuazione:

· Le bande di Bollinger, contrassegnate da una tinta viola nel grafico, vengono avvicinate dal corso dell'azione nella parte superiore della stessa, nella cosiddetta high band, senza attraversarla dal basso verso l'alto, rimbalzando in direzione opposta verso livelli di prezzo più bassi, iniziando dunque un ribasso di breve periodo che ha contraddistinto il titolo della banca milanese. ·

Secondariamente, il grafico ha perforato il livello centrale della serie di Fibonacci, valore di 50%, continuando al ribasso per ben tre ottave, erodendo ben 0,75€ del valore del titolo in borsa. Nella discesa, il prezzo non ha accumulato una forza relativa tale da poter ritracciare verso l'alto, bensì si è indebolito ulteriormente raggiungendo e di conseguenza, perforando il valore 32.8% della serie di Fibonacci in maniera molto celere. A causare questo crollo delle quotazioni, sono state le notizie negative in merito ai downgrades dei titoli del debito sovrano dei paesi Pigs69 dell'area Euro e delle ampie esposizioni che la banca Unicredit aveva nei confronti del mercato Corporate Bond e dei titoli del debito pubblico.

Illustrazione 45: Le fan lines di Fibonacci applicato al titolo Fiat

In riferimento al titolo Fiat, la funzionalità delle fun lines è equipollente a quanto dimostrato in precedenza.

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[67] John J.Murphy”Analisi tecnica dei mercati finanziari” Terza edizione edito da Mc Graw Hill

[68] Il risultato conseguito , pari a 1,61308 ottenuto dal rapporto tra un elemento della successione ed il suo precedente noto con il termine di golden ratio è opera di Johannes Kepler.

[69] Seppur volgare come definizione, l'acronimo Pigs che sta per Paesi Porci, rappresentati da Portogallo, Irlanda, Grecia e Spagna, sono stati definiti così per l'eccessiva esposizione ed il mancato ossequio dei parametri di Maastricht che hanno riguardato questi paesi nel periodo dello scoppio della Subprime Mortgages Financial Crises.

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