In contrasto con la visione Euclidea della simmetria e regolarità delle forme naturali, la Geometria dei Frattali ha promosso una variabile metrica alternativa rispetto al passato, definendo una dimensione frattale non conforme a quella classica. Il concetto di dimensione frattale è molto complesso da applicare, visto che, deriva da una definizione pronunciata dal matematico russo N. Kolmogorov, il quale per primo cercò di dedurre la misura della capienza di una figura geometrica.
Mandelbrot, nelle sue dissertazioni sui frattali, ha disposto diverse analisi sul concetto di dimensione frattale analizzando figure geometriche dal punto di vista monodimensionale, bidimensionale o tridimensionale, ottenendo risultati innovativi visto che, in base alla scala di misurazione adottata, l'oggetto analizzato può essere ricompreso nell'ambito di una dimensione, di due dimensioni o di tre dimensioni, annuendo che quanto più la distanza tra l'osservatore e l'oggetto è consistente, tanto più il corpo studiato tende ad assumere le dimensioni di un punto nel piano, mentre più la visione del corpo diventa microscopica, tanto più le dimensioni del corpo ritornano ad un punto monodimensionale.
Tra i tanti esempi possibili proposti in natura, l'esempio caratterizzante la relatività della misura è dato dalla spugna. In effetti, se si analizzasse un corpo spugnoso, si potrebbe notare come lo stesso occupi uno spazio tridimensionale se visto in funzione di una distanza media, mentre dal punto di vista analitico, tale affermazione si scontrerebbe con la dimensionale frattale, visto che, la spugna, è caratterizzata da fori che in realtà non occupano nessun spazio, attribuendo al corpo spugnoso misure frazionarie, poiché la misura del corpo è maggiore di un piano, ma inferiore di un solido. In conseguenza alla tesi frattale, la dimensione della spugna sarebbe contenuta nell'intervallo tra le due e le tre dimensioni, mettendo in chiara evidenza che la dimensione frattale mostra un nuovo metro di misurazione con il quale non si misura solo lunghezza, peso o altre misure di un corpo, ma serve per ottenere una misura irregolare o frazionaria.
Per determinare la dimensione frattale di alcuni oggetti, in matematica è consuetudine avvalersi del metodo del Box - counting, molto semplice da utilizzare. In base a quanto sostenuto da Kolmogorov, per la determinazione della misura di capienza di figure geometrica, si può determinare la dimensione della curva di Kock come si mostrerà sotto:
Partendo dalla foto in alto, iniziando da ogni segmento dell'insieme E1, ognuno di questi può essere coperto da quattro cerchi con diametro d come mostrato nell'illustrazione 10. Se la medesima operazione venisse effettuata su insieme tendenti a En, avremmo che il numero di cerchi N(d) necessari per coprire l'intero segmento, crescerebbe in misura proporzionale alla riduzione del diametro dei cerchi ovvero della riduzione del fattore di scala secondo una relazione del tipo:
dove con l'utilizzo dei logaritmi avremo:
Da questa si può quindi derivare che, con riferimento alla curva di Kock, servono quattro cerchi di diametro 1/3; dunque
Con lo stesso procedimento è possibile che si trovano la dimensione frattale dell'insieme di Cantor [ log (2) / log (3) = 0,6309...] e del triangolo di Sierpinski [ log (3) / log (2) =1,5849...]. Questo metodo di calcolo della dimensione frattale è utilizzabile solo per una limitata classe d'insiemi frattali strettamente autosimilari40 e simmetrici. Tuttavia esistono altre definizioni di dimensione che si prestano ad una più ampia applicazione. Una di queste è la dimensione di Hausdorff.
Il concetto di dimensione frattale, Mandelbrot lo attinse da Hausdorff, che per primo dedicò attenzione al tema. Secondo Mandelbrot, un insieme F lo si cataloga come frattale, se la dimensione di Hausdorff, H(f),risulta strettamente maggiore della dimensione topografica.
La dimensione topologica DT è sempre rappresentata da un numero naturale intero non superiore a tre. È la dimensione comunemente intesa anche come euclidea. Per un punto DT = 0, per una linea DT = 1, per il piano DT = 2 e per lo spazio tridimensionale DT = 3. Questa dimensione, per gli oggetti frattali, non coincide con la dimensione euclidea DE. Si possono quindi avere tre classi di dimensione rilevanti nello studio dei frattali (Mandelbrot, 1983): dimensione euclidea DE, topologica DT e frattale DF. Sia F un sottoinsieme di uno spazio metrico e sia d > 0. La misura esterna ddimensionale md (F) è definita come:
ove l'estremo inferiore è calcolato su tutti gli insiemi finiti St che coprono F, tali che diam St < r dato r > 0. Secondo la scelta del valore di dm, d(F) può risultare finita o infinita. Nel 1919 Hausdorff ha dimostrato che in corrispondenza di un ben definito valore di d,d*, md(F) passa a valori finiti al crescere di d. Ciò porta alla seguente definizione:
Intuitivamente h(F) misura la crescita del numero d' insiemi di raggio r necessari per coprire F al tendere di r a zero. Sia r(n) il numero di cerchi di raggio r necessari per coprire la figura frattale F. Se n(r) cresce secondo la legge r−D per r che tende a zero, si dirà che D è la dimensione di Hausdorff di F.
[40] Visto che i frattali semplici si ottengono attraverso un rapporto specifico, i frattali che hanno il rapporto uguale in ogni direzione vengono definiti autosimili. Sono come ingrandimenti con buona qualità che ingrandiscono o si riducono nella stessa misura tutto ciò che viene inquadrato, nel senso che tutto ciò che mostrano a due diverse distanze focali sarà simile. Come si vedrà,nel cartone di Bachelier il rapporto varia da una direzione all'altra, definendo quei frattali come autoaffini.
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