Il terzo pilastro sul quale Mandelbrot ha poggiato la struttura del Modello multifrattale dei rendimenti delle attività, è il tempo di negoziazione o trading time. L'autore parte dal presupposto che per implementare uno studio multifrattale sulle serie storiche di prezzi, è necessario il normale valore che si attribuisce al tempo conteggiato da un semplice orologio, venga deformato e trasformato in un tempo per così dire di contrattazione, dal quale si realizzeranno diagrammi finanziari. Per rappresentare il modello si parta dalla definizione di processo stocastico secondo cui: dato [B(t)] inteso come un processo stocastico e data θ(t ) un incremento della funzione di t, avremo che il processo

è chiamato processo composto. L'indice t denota il tempo dell'orologio e θ(t ) è chiamato tempo di contrattazione o tempo deformato di un processo. Una forma speciale di processo composto è una subordinazione come sviluppato da Bochner e applicato ai mercati finanziari da Mandelbrot e Taylor (1986). La subordinazione sviluppata originariamente come una parte della teoria dei processi Markowiani richiede che θ(t ) ha degli incrementi indipendenti52 In riferimento al modello multifrattale dei rendimenti delle attività, Mandelbrot ha costruito nuovi cartoni con i quali ha spiegato l'importanza del tempo multifrattale di negoziazione partendo da due generatori che l'autore definisce “madre e padre” produttori di un nuovo generatore “figlio”.

Partendo dalla figura sottostante è possibile individuare tre assi, ognuno dei quali contrassegnati da tre variabili che sono il tempo dell'orologio, il valore di scala definito tempo di contrattazione δ e prezzo P. In questo esempio si descrive l'attività del generatore “padre” che converte il tempo dell'orologio in tempo di contrattazione, mentre il generatore “madre” converte in prezzo il tempo dell'orologio. Con un'attività congiunta dei due generatori, il figlio prende il tempo di contrattazione del padre e lo converte in un prezzo in base alle regole fornite dal generatore madre. Il passo finale consiste nell'utilizzare il nuovo generatore figlio per costruire un grafico frattale dei prezzi completo. In conclusione si otterrà un diagramma finanziario adiacente alla realtà ottenutolo con la dilatazione53 e contrazione del fattore tempo.

Illustrazione 25: Il cubo del mercato frattale.

La figura tridimensionale mostra due processi congiunti in grado di realizzare un diagramma finanziario. Il diagramma di sinistra è un cartone non randomizzato del modello Browniano, che risulta essere una variante del generatore madre. Il percorso articolato lungo la base del diagramma, è il generatore padre, il quale mostra come si altera il tempo dell'orologio a sbalzi non regolari, convertendolo in tempo di contrattazione. La parete destra del grafico, rappresentata dal diagramma che contiene la relazione tra tempo dell'orologio e prezzo multifrattale è la combinazione tra generatore madre e padre dai quali sarà generato il cartone figlio.54

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[52] Vedi Feller (1968).

[53] Nel linguaggio frattale di Mandelbrot, la dilatazione temporale vine definita con il termine di cascata moltiplicativa.

[54] Quanto descritto, è frutto di una rielaborazione del modello multifrattale presentato nel libro di B. Mandelbrot e R.Hudson : “Il disordine dei mercati.Una visione frattale di rischio, rovina e redditività”. Pag 205- 208 Einaudi 2005 di Brescia.

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