I modelli ARCH, proposti dall'econometrico Engle (1982), possiedono molte delle caratteristiche nei loro parametri teorici che possono mimare relativamente bene il comportamento delle quantità empiriche calcolate sulle serie finanziarie. Essi hanno, ad esempio, una componente erratica (quella a cui si può assegnare il compito di interpretare i rendimenti) che non è autocorrelata, invece la sua varianza non è costante nel tempo ed è autocorrelata, infine la sua distribuzione si presenta con le caratteristiche delle distribuzioni leptocurtiche. La formulazione di questi modelli può essere sintetica ma è necessario avere familiarità con le nozioni probabilistiche ed econometriche: si proverà perciò a darne ragione in modo il più possibile discorsivo. Anzitutto si osservi che il modello dei prezzi:

può essere riscritto, alla luce dell'assunzione di processo martingala

nel seguente modo:

Questa rappresentazione dice che il prezzo al tempo t è dato dall'aspettativa che l'operatore si è formato sulla base delle informazioni disponibili nel periodo precedente più il rendimento effettivo per lo stesso tempo t. Qualora ci si chieda in che modo oscillano i prezzi, la risposta è implicita nel concetto di varianza o volatilità; anche la varianza può essere calcolata in modo condizionale rispetto alle informazioni disponibili. Dal fatto che l'aspettativa non ha variabilità (ha variabilità zero) e che i rendimenti sono indipendenti o non correlati rispetto all'aspettativa, si può dedurre la seguente relazione:

cioè la volatilità dei prezzi è uguale alla volatilità dei rendimenti. Si è detto che l'assunzione di processo martingala non comporta necessariamente la costanza di questa varianza (come nell'ipotesi random walk). La sua variabilità può esprimersi, in generale, attraverso una funzione delle informazioni disponibili al tempo t-1, vale a dire:

Dalle assunzioni sulla forma della funzione f (p(t-1)) discendono varie classi di modelli. La classe di modelli ARCH assume che sia definito come combinazione lineare di un pre assegnato numero p di rendimenti quadratici

Il numero di rendimenti quadratici coinvolti è segnalato attraverso la notazione ARCH(p). Un limite dei modelli ARCH può essere dato dal numero troppo elevato di rendimenti necessari per adattarlo ai dati osservati. Per superare questo limite, Bollerslev (1986) propone di utilizzare una classe di modelli più generale, detta dei processi ARCH generalizzati (GARCH). Definita con

la varianza condizionale al tempo t, la classe dei modelli GARCH assume che tale varianza sia definita come combinazione lineare di un pre-assegnato numero p di rendimenti quadratici (come per la classe dei processi ARCH) e di un pre-assegnato numero q di varianze condizionali ritardate nel tempo, cioè

Anche in questo caso il numero dei rendimenti e delle varianze utilizzato nel modello è indicato dalla notazione GARCH (p,q) ; nella pratica econometrica raramente si utilizzano modelli di ordine superiore al modello GARCH(1,1). Ulteriori proposte sono apparse nella letteratura econometrica ad arricchire le classi di modelli applicabili ai dati finanziari.

Qualora ad esempio il modello preveda la dipendenza dei prezzi al tempo t non solo dai prezzi al tempo t-1 ma anche t-2, t-3, ..., t-m, cioè si utilizzi una struttura autoregressiva, indicata con AR(m), e si ammetta volatilità non costante nel tempo, allora ci si può riferire a modelli della classe AR (m) GARCH (p, q).

Nella classe ARCH-M invece è la media condizionale a diventare una funzione esplicita della varianza condizionale del processo; in questo modello un aumento nella varianza condizionale è associato ad un incremento o decremento nella media condizionale dei prezzi. Questa è una caratteristica apprezzabile e coerente con molte delle teorie in ambito finanziario che ipotizzano un trade-off tra rischio e rendimento atteso: immediate generalizzazioni dei modelli ARCH-M sono date dai modelli GARCH-M e AR-GARCH-M. Nelson (1991) invece propone la classe di modelli GARCH esponenziali o EGARCH, caratterizzata dal fatto che la varianza condizionale si presenta come una funzione asimmetrica dei valori passati dei rendimenti.

Infine, una classe particolare è rappresentata dagli ARCH qualitativi a soglia, denominata QTARCH e G-QTARCH, proposta dagli econometrici francesi Gourieroux e Monfort (1992). Questi modelli sono modelli ARCH la cui struttura dipende da una variabile qualitativa, nota con il nome di stato o regime; a sua volta lo stato è funzione del processo che si vuol studiare (ad esempio i prezzi). Il campo di variazione del processo analizzato è ripartito in due o più segmenti i cui estremi sono detti soglie; a seconda che il processo superi una certa soglia, sarà determinante un particolare stato piuttosto che un altro. Questo tipo di modelli si rivelano utili per interpretare alcune caratteristiche tipiche delle serie finanziarie come ad esempio: i corsi dei titoli tendono ad essere vischiosi al rialzo;

la volatilità dei rendimenti buy è generalmente inferiore a quella dei rendimenti sell; la volatilità dei rendimenti buy è superiore a quella dei rendimenti sell solo nel caso di rimbalzi delle quotazioni caratterizzati da una grossa spinta al rialzo.

Vari sono stati i motivi di successo della modellistica ARCH-GARCH: gran parte della moderna Teoria della Finanza interpreta gli andamenti dei mercati finanziari utilizzando i cosiddetti processi diffusi in tempo continuo. I modelli proposti sono generalmente fondati sulla soluzione di equazioni differenziali stocastiche e la loro applicazione presuppone l'osservazione di serie temporali continue mentre in realtà le serie finanziarie disponibili sono rilevate in tempo discreto.

Nelson (1990) riconcilia le motivazioni empiriche alla base dei modelli ARCH e la teoria economica dimostrando come un processo GARCH(1,1) converga ad un modello diffuso continuo man mano che si considerano intervalli temporali più piccoli. Diebold, Im e Lee (1988), basandosi sul Teorema del Limite Centrale dimostrano, invece, la convergenza verso la distribuzione normale di un processo martingala con errori di tipo ARCH.

Lamoureux e Lastrapes (1990) dimostrano che il volume di trading giornaliero nel mercato delle azioni, utilizzato come variabile esplicativa, ha un suo peso nello spiegare la varianza dei rendimenti giornalieri e tale varianza possiede la struttura tipica dei modelli ARCH e GARCH.

Successivo: Distribuzione Lévy stabile

Sommario: Indice