Nella teoria della probabilità e in statistica, la distribuzione Lévy, chiamata con tale termine a seguito della scoperta fatta da Paul Pierre Lévy, matematico francese, è una distribuzione di probabilità continua fra variabili casuali non negative.In spettrologia questa distribuzione, con frequenza come la variabile dipendente, è conosciuta come un Profilo di van der Waals. Questa è solo una di alcune distribuzioni che sono dette stabili e che hanno una funzione di densità di probabilità che sono espresse analiticamente, essendo altre funzioni conosciute come distribuzioni normale e di Cauchy. Tutte e tre sono casi speciali di distribuzioni stabili, che non hanno generalmente una espressione analitica della funzione di densità della probabilità.

Definizione La funzione di densità della probabilità della distribuzione Lévy stabile rientrante nel dominio

dove μ è il parametro locale e c è il fattore di scala; La funzione di distribuzione cumulata è:

dove erfc(z) è la funzione dell'errore complementare. Il parametro μ è inteso come l'effetto dello spostamento della curva verso destra da un valore μ , e il cambiamento che supporta l'intervallo [ μ , ∞ ]. Come tutte le distribuzioni stabili, la distribuzione Lévy ha una forma standard f(x;0,1) avente la seguente proprietà:

dove y è definita come:

la funzione caratteristica della distribuzione Lévy è data da:

Nota che la funzione caratteristica può essere scritta anche in alcune forme usate per la distribuzione stabile con α = 1 / 2 and β = 1:

Assumendo μ = 0, il momento nth della distribuzione Lévy non traslata è definita formalmente dalla formula :

che diverge per ogni n > 0 in modo che i momenti della distribuzione di Lévy non esistano. La funzione generatrice dei momenti poi è definita formalmente :

cui diverge per la t > 0 e quindi non è definita in un intervallo intorno zero, di modo che la funzione generatrice dei momenti non è definita di per sé. Come per tutte le distribuzioni stabili tranne la distribuzione normale, l'ala della funzione di densità di probabilità esibisce il comportamento pesante della coda che cade secondo una legge di potenza:

Illustrazione 39:Funzione di densità della probabilità unshifted

Illustrazione 40: Funzione della densità di probabilità con diversi di c e ( = 0

Illustrazione 41: Funzione della distribuzione cumulata

Illustrazione 42: Funzione di densità di probabilità con shift

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