I due studiosi G.E.P Box e G.M. Jenkins hanno sviluppato molti modelli, ma tutti comunque incentrati su due tipi in particolare: il modello autoregressivo, e il modello a media mobile. Si definisce modello autoregressivo di ordine p, AR(p):

(8.4.1)

in cui i parametri costituiscono i coefficienti della regressione lineare della variabile casuale z_t rispetto ai suoi stessi valori passati, a _t processo WN, è il termine di errore.

In generale, lavorando con processi AR(p), risulta conveniente utilizzare l’operatore backshift B, denominato anche lag operator, che semplifica notevolmente determinate relazioni. Tale operatore si definisce come segue:

(8.4.2)

ed in generale si ha:

(8.4.3)

mentre se si ha a che fare con una costante µ si ha:

(8.4.4)

In questo modo, il processo autoregressivo di ordine 1, AR(1), sarà dato da

(8.4.5)

e di conseguenza:

(8.4.6)

che converge soltanto se il valore assoluto di φ è minore di 1, che costituisce la condizione di stazionarietà. Il processo AR(1) ha quindi una funzione di autocorrelazione data da la quale tende a zero in modo monotono per φ > 0 e varia tra –1 e 1 per φ < 0.

Figura 18. Correlogramma di un processo AR(1) stazionario con parametro positivo

Figura 19. Correlogramma di un processo AR(1) non stazionario

Si definisce modello MA (Moving Average) di ordine q, ovvero MA(q):

(8.4.7)

dove i parametri θ₁,...,θ_q sono costanti, ed a è il termine di errore, questa volta presente come regressore nelle q unità temporali considerate. Dal momento che q è un numero reale, e quindi il processo è composto da un numero finito di termini, questo basta a garantire la stazionarietà dei processi MA(q). La media di un MA(q) è zero poiché questo processo, senza intercetta, si riconduce ad una combinazione lineare di variabili casuali di tipo WN con media zero. L’autocovarianza, sarà espressa in questo caso da una forma del tipo

( con k = 1,2,…,q) (8.4.8)

γ_k =0 (con k >q) (8.4.9)

La stazionarietà si evince proprio dall’assenza, in ciascuno di questi momenti del processo, di una dipendenza con t. Un processo del tipo:

(8.4.10)

si definisce MA(1). Anche in questo caso si può esprimere il processo suddetto in funzione del lag operator, ottenendo la seguente relazione:

(8.4.11)

Oltre alla stazionarietà, nei processi AR e MA si fa riferimento anche alla condizione dell’ invertibilità. Questa ipotesi viene richiesta per evitare che ad una stessa funzione di autocorrelazione si possa applicare più di un modello. Per quanto riguarda le serie finanziarie, l’invertibilità deve essere verificata per le MA, visto che nel caso delle AR, è sempre verificata. Oltretutto si può verificare che la condizione di stazionarietà per un AR(p) coincide con la condizione di invertibilità di una MA(q). Infatti, come le MA(q) sono sempre stazionarie, le AR(p) sono sempre invertibili. L’analisi Box-Jenkins sviluppa un modello che combina il processo AR a quello MA: il modello ARMA. Ad esempio un ARMA(1,1) è dato da

(8.4.12)

dunque riunisce in sé una rappresentazione infinita di un processo autoregressivo, e un processo a media mobile con infiniti pesi. Le condizioni di stazionarietà e di invertibilità associate rispettivamente ai processi AR(p) e MA(q) permangono per il processo ARMA(p,q). Il correlogramma di un processo ARMA(p,q) conserva le stesse caratteristiche di un correlogramma di un AR(p) tranne che per i primi q-p valori iniziali. La funzione di autocorrelazione parziale, per k>p-q, si comporta come un processo MA(q).

Figura 20. Correlogramma di un ARMA(1,1)

Il correlogramma della Figura 20 mostra la composizione di un ARMA(1,1) a partire da un AR(1) e un MA(1). Nei correlogrammi delle figure precedenti, le bande verticali tratteggiate, stanno a racchiudere l’ intervallo di confidenza all’interno del quale non si rifiuta l’ ipotesi di assenza di autocorrelazione per ogni lag: per questo motivo il processo White Noise, per definizione non autocorrelato, propone un correlogramma con oscillazioni comprese all’interno di tale intervallo, in particolare il White Noise ha un coefficiente di autocorrelazione la cui distribuzione è riconducibile ad una normale con media zero e varianza 1/n, dati n elementi del campione (con un livello di significatività del 95%).

Infine il modello ARIMA, è un modello in cui si utilizza l’operatore differenza

per rendere stazionaria una serie ARMA non stazionaria. In questo modo un modello ARMA(p,q) diviene, utilizzando il D-operator (simile peraltro al lag operator), un ARIMA(d,p,q) in cui d sono il numero di variazioni necessarie a rendere stazionaria una serie. Se d=0 il processo è già stazionario, se d=1 sono stazionari gli incrementi del processo, se d=2 il processo ha livello e pendenza che si modificano nel tempo. La forma di un ARIMA è la seguente:

(8.4.13)

Dove Wt rappresenta la serie di dati originale, o una derivazione di grado d dei dati originali; Φ₁,Φ₂...,Φ_p sono i parametri autoregressivi; θ₀ è una costante; θ₁,θ₂...+θ_qsono i parametri della media mobile, e et rappresenta il termine di errore.

Marco Primavera

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