Confronto con un Modello RW

E’ interessante il confronto con un processo “random walk” dove la previsione del rendimento è uguale al suo valore precedente:

Quindi per ottenere 30 previsioni, dal 16/08/2010 al 27/09/2010, si considerano i rendimenti dei giorni precedenti a quelli da prevedere.

Figura 50: Previsioni modello RW

Per valutare la bontà del previsore RW si osservano i suoi errori si osserva il test sulla correttezza degli errori:

Il risultato indica che ad un livello di probabilità inferiore a 2,5% non è possibile rifiutare l’ipotesi nulla di correttezza degli errori, con una probabilità di sbagliare rifiutandola pari al 98%. Quindi si possono ritenere corretti gli errori.

Da un punto di vista statistico prevedere significa determinare con il minore errore possibile la realizzazione di una variabile casuale per mezzo della realizzazione di altre variabili casuali. Attraverso gli errori si cerca di valutare l’accuratezza, cioè la capacità del modello di riprodurre i dati sui quali è stato stimato. Pertanto per potere risolvere il problema è necessario scegliere una funzione di perdita o di costo e determinare il previsore ottimale, cioè la funzione (misurabile) delle variabili osservabili, che minimizza la perdita attesa. La funzione di perdita (o di costo) è una funzione che traduce analiticamente il costo associato ad ogni errore di previsione. Tale funzione misura quindi, in ogni differente contesto operativo, il costo associato alla decisione presa in base al valore assunto dal previsore.

Partendo dal presupposto che la funzione di perdita è una misura del tutto soggettiva, e che lo stesso risultato può avere pesi diversi per ogni individuo; in ragione del contesto e del fine per cui vengono elaborate le previsioni, la funzione di costo può assumere valori differenti.

L’esistenza di differenti specificazioni per la funzione di costo impedisce di parlare di previsore ottimo in senso assoluto, anche se è possibile definire un previsore ottimale a seconda del particolare contesto e del fine per cui vengono elaborate le previsioni.

Data una particolare funzione di perdita, il previsore ottimale è quella funzione delle osservazioni che minimizza il costo implicato dall'errore di previsione commesso. Si assume che le conseguenze di un errore di previsione siano sintetizzabili mediante una funzione di perdita di tipo quadratico.

In letteratura si scelgono diverse funzioni di perdita: una di queste misura l'errore quadratico medio di previsione (EQMP), ossia un funzione quadratica data dal valore atteso dei quadrati degli scarti, calcolati sulle H osservazioni escluse dal campione di stima. In questo modo è possibile determinare (dopo aver calcolato i corrispondenti errori di previsione) una graduatoria degli EQMP. Infine si sceglie il previsore con l’EQMP più piccolo:

Analizzando i modelli presi in considerazione:

e

I corrispondenti punteggi EQMP saranno:   

Dal calcolo dell’EQMP è evidente come i due valori ottenuti sono differenti, l’errore quadratico medio del RW è più del doppio di quel del modello scelto, che quindi ha un minore livello di errore.

Un altro indicatore spesso utilizzato è il coefficiente U di Theil, si tratta di un indicatore utilizzato per valutare la bontà del previsore. L’indice confronta l’EQMP del modello preso in esame con quello di un RW:

ossia

Il rapporto varia tra 0 e ∞: risultando nullo nel caso in cui i valori previsti coincidano perfettamente con quelli osservati, 1 quando la capacità previsiva del modello specificato è la medesima di quella del RW. Valori superiori a 1 (quindi tendenti a ∞) indicano una cattiva qualità delle previsioni a numeratore, e quindi l’inadeguatezza del previsore specificato.

Il rapporto tra i 2 EQMP dà un’informazione importante: la capacità previsiva del modello preso in esame non è perfetta (altrimenti sarebbe 0), tuttavia è migliore di quella di un RW dato che il risultato è più vicino a 0 che a 1 infatti U=0,455 si trova al di sotto di 0,5, quindi si avvicina più al modello con VIX.

L’errore quadratico medio ha il vantaggio di essere più facile da maneggiare matematicamente e per questo è spesso utilizzato nelle ottimizzazioni statistiche, ma non facilita il confronto tra diverse serie temporali e per differenti intervalli di tempo, per fare questi confronti sono necessarie misure dell’errore relative o percentuali. Quando si trattano funzioni di perdita non quadratiche, è opportuno graduare la capacità previsiva di differenti modelli utilizzando altri indicatori statistici: quando la funzione di perdita è lineare, ad esempio C(e)=|e|, per graduare differenti previsioni si può ricorrere all’errore medio assoluto:

Che è la somma degli errori di previsione in valore assoluto, diviso la loro numerosità, nel caso in analisi:

L’errore medio assoluto misura la media del valore assoluto degli errori: dai risultati ottenuti è evidente come lo stimatore RW commette in media l’1,29% di errore di previsione, rispetto al modello in esame che commette in media lo 0,82%. L’errore massimo commesso dal RW nelle 30 previsioni è di 3,13% e l’errore minimo è di 0,0031%, mentre nel modello con VIX si trova un errore massimo di 2,91% e un minimo di 0,0012%.

Quindi in media si può dire che il previsore preso in esame commette meno errori di un semplice modello RW, l’errore massimo che commette è più piccolo di quello del RW come anche l’errore minimo, ciò significa che il RW sbaglia sempre di più del modello con VIX.

Il possibile ordinamento dei previsori con le misure precedenti ha il limite di essere puaramente descrittivo: è quindi opportuno impostare i confronti in termini statistico-inferenziali mediante test di ipotesi per il confronto tra variabili causali (Guizzardi, 2002).

Mirko Cavallaro

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