Indice VIX, Volatilità, Modelli e Analisi Empirica

Modello GARCH- Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity

I modelli Generalized-ARCH (GARCH) rappresentano uno strumento utile all’analisi della persistenza dei movimenti della volatilità. Il modello è stato elaborato per la prima volta nel 1986 da Bollerslev.

L’equazione di un generico modello GARCH(p,q) specifica la varianza condizionale come segue:

dove ω ≥ 0, αi ≥ 0 per i = 1, 2, …, q e βj ≥ 0 per j = 1, 2, p. La varianza condizionale dipende da (1+p+q) parametri, dove p si riferisce all’ordine del ritardo della parte autoregressiva rappresentata dai valori della varianza condizionale stessa nel passato, mentre q mostra il numero dei ritardi della componente εt2. Mediante l’utilizzo dell’operatore ritardo, l’espressione è così riscrivibile:

ht = ω + A(L) εt2 + B(L) ht

Con m = max (p,q), il GARCH(p,q) è facilmente riconducibile ad un ARMA(m,p) per i quadrati delle innovazioni passate imponendo la condizione vt = εt2 - ht. È quindi ricavabile la seguente espressione:

εt2 = ω +[A(L) + B(L)] εt2 – B(L)vt + vt

Bollerslev afferma che il processo GARCH(p,q) è stazionario in covarianza quando le radici del polinomio 1 – A(L) – B(L) cadono al di fuori del cerchio di raggio unitario, ovvero:

con tutti i parametri non negativi. Al valere della suddetta condizione, la varianza non condizionale dell’innovazione risulta essere

Mirko Cavallaro

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